Division et reste

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Nainess
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Division et reste

Message par Nainess le Sam 20 Fév - 21:19

Soit r1 et r2 mes restes respectifs des divisions par 13 de deux
nombres quelconques a et b. Montrer que les nombres ab et r1r2 ont le
même reste dans la division euclidienne par 13.


Je bloque à un moment Si quelqu'un y arrive et peut m'expliquer
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Tounga
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Re: Division et reste

Message par Tounga le Dim 21 Fév - 14:15

Tu l'as pris où ce sujet Nainess, il me dit quelque chose ...

Pour l'instant, je bloque aussi mais je n'ai pas les idées très claires aujourd'hui
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Re: Division et reste

Message par Nainess le Dim 21 Fév - 15:20

Je l'ai trouvé sur le net
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Re: Division et reste

Message par aminerale le Dim 21 Fév - 16:16

C'est un exo sorti d'annales ou pas ?
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Re: Division et reste

Message par Nainess le Dim 21 Fév - 16:28

Aucune idée, ce n'était pas indiqué en tout cas!
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Re: Division et reste

Message par Tounga le Dim 21 Fév - 17:30

Je viens de regarder la correction sur EDP et je pense avoir une réponse, vous dites ce que vous en pensez après ...

On a :
a = 13q1+ r1
b = 13q2+ r2

r1r2 = 13q + r

avec a,b, q1, q2, r1, r2, q et r des nombres entiers !

ab = (13q1+ r1)(13q2+ r2)
ab = 13² q1q2 + 13q1r2 + 13q2r1 + r1r2
ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1) + r1r2

donc on a bien une équation euclidienne du type ab = 13 * un nombre entier + r1r2
où r1r2 est le reste à condition que l'on est bien r1r2 <13

On a d'après l'énoncé : r1r2 = 13q + r

donc si je remplace r1r2 par cette écriture dans l'équation ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1) + r1r2
j'obtiens :
ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1) + 13q + r
<=> ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1 + q) + r

Donc dans cette nouvelle équation euclidienne, on a r comme reste de la division euclidienne de ab par 13

On a donc bien r qui est le reste de la division euclidienne de ab par 13 et de r1r2 par 13.
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Re: Division et reste

Message par Nainess le Dim 21 Fév - 20:31

Alors je crois avoir compris Faut que je le refasse pour être sûre!

Mais juste, comment tu sais que r1r2 = 13q + r

Sinon le reste ok, c'est ce que j'avais (sauf les dernières lignes bien sûr, et ça qui me permettait de les relier)
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Re: Division et reste

Message par Tounga le Dim 21 Fév - 21:07

Nainess a écrit:Alors je crois avoir compris Faut que je le refasse pour être sûre!

Mais juste, comment tu sais que r1r2 = 13q + r

Sinon le reste ok, c'est ce que j'avais (sauf les dernières lignes bien sûr, et ça qui me permettait de les relier)

C'est ce qui me chagrine, est ce que j'ai le droit de poser ça d'après l'énoncé
Il me semble que oui car il est sous entendu dans la question que ab et r1r2 sont divisibles par 13 mais j'ai un doute, c'est pour cela que je vous demande vos avis Very Happy
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Re: Division et reste

Message par Nainess le Dim 21 Fév - 21:19

Ah bah c'est pas moi qui va te confirmer c'est sûr

Ohé du bateau, ya quelqu'un pour nous éclairer??
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Re: Division et reste

Message par Circé le Lun 22 Fév - 5:29

tounga a écrit:Je viens de regarder la correction sur EDP et je pense avoir une réponse, vous dites ce que vous en pensez après ...

On a :
a = 13q1+ r1
b = 13q2+ r2

r1r2 = 13q + r

avec a,b, q1, q2, r1, r2, q et r des nombres entiers !

ab = (13q1+ r1)(13q2+ r2)
ab = 13² q1q2 + 13q1r2 + 13q2r1 + r1r2
ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1) + r1r2

donc on a bien une équation euclidienne du type ab = 13 * un nombre entier + r1r2
où r1r2 est le reste à condition que l'on est bien r1r2 <13


On a d'après l'énoncé : r1r2 = 13q + r

donc si je remplace r1r2 par cette écriture dans l'équation ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1) + r1r2
j'obtiens :
ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1) + 13q + r
<=> ab = 13 (13q1q2 + q1r2 + q2r1 + q) + r

Donc dans cette nouvelle équation euclidienne, on a r comme reste de la division euclidienne de ab par 13

On a donc bien r qui est le reste de la division euclidienne de ab par 13 et de r1r2 par 13.

Je suis d'accord avec le fait de poser r1r2 = 13q + r d'après l'énoncé.

C'est avec la phrase que j'ai mis en gras que je serais moins d'accord.
r1r2 n'est pas < 13 d'après justement r1r2 = 13q + r (en supposant q différent de 0)
Je pense que ton raisonnement est juste sauf que tu n'as pas besoin de dire ça.
Nan ?
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Re: Division et reste

Message par aminerale le Lun 22 Fév - 8:40

Effectivement, d'accord avec Circé, tu ne peux pas mettre cette phrase ni la précédente.

Ne fais pas de conclusion intermédiaire et c'est tou tbon !

Moi, je n'avais pas pensé à revenir à l'equation type pour r1r2 ! Et du coup je me perdais !

Merci tounga pour la correction
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Re: Division et reste

Message par Tounga le Lun 22 Fév - 12:50

Exact, il faut supprimer ces deux phrases !!!
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Re: Division et reste

Message par Lilou le Jeu 11 Mar - 18:20

je viens de m'amuser à faire cet exercice de mise en jambe des divisions, c'est une division posée à trou, si ça vous dit de la faire juste pour le plaisir, c'est assez rapide :
exercice division à trou

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Re: Division et reste

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