une "démonstration" du théorème de Pythagore

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Message par Invité le Mer 24 Mar - 17:53

L'unité de mesure est le cm
On considère un trapèze ABCD tel que:
-il soit rectangle en A et B
-le segment [AB] mesure a+b
-le segment [AD] mesure a
-le segment [BC] mesure b

TRacer la figure à main levée
1) Calculer l'aire du trapèze ABDC exclusivement en fonction de a et b
2) placer I sur [AB] tel que AI=b et IB=a; on appelle c la mesure de [DI]
On admettra que les deux triangles AID et IBC sont supperposables

3) Calculer les aires des triangles DAI et IBC en fonction de a et b
Calculer l'aire du triangle DIC en fonction de c
A l'aide de ces trois aires, donner une nouvelle expression de l'aire du trapèze ABCD

4) Finir la "démonstration" du théorème de Pythagore

J'ai réussi à faire le schéma (enfin je pense...)
pour le 1) j'ai mis
Aire ABCD = (b+a) (a+b)/2
Aire de ABCD = (a+b) au carré /2

après je n'y arrive pas... enfin je vois quelques trucs...mais j'y arrive pas....
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Message par Invité le Mer 24 Mar - 18:49

Aire ABCD = (a+b)² / 2
Donc comme toi

Aire (AID) = Aire (IBC) = (b X a) /2 je crois
après je bloque aussi pour l'instant

au fait pour l"exo sur les périmetres on avait bon avec Nainess?
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Message par Lilou le Mer 24 Mar - 18:55

je l'ai fait ya pas longtemps cet exo.
je pense que pour tracer la figure, t'as pas eu de soucis.

donc passons au Calcul de l'aire du trapèze ABCD en fonction de a et de b :

Aire trapèze = [(grande base + petite base) x hauteur] / 2

Comme ABCD trapèze rectangle en A et en B, ses bases sont [AD] et [BC], sa hauteur [AB].

Aire ABCD = (BC + BD) x AB /2 = (b + a) x (b + a) / 2 = (b + a)² :2

donc aire du trapèze est de ((b+a)² / 2)


Dernière édition par Emilie le Mer 24 Mar - 19:09, édité 1 fois
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Message par Lilou le Mer 24 Mar - 19:00

Montrons que l'angle DIC est droit :
AID et IBC sont 2 triangles superposables, donc leurs angles sont egaux respectivement :

A=B
ADI=BIC
AID=ICB

Les points A,I et B sont alignés dans cet ordre, alors, AîB = 180°
Or AÎB = AÎD + DÎC + CÎB
180 = DÎC + (AÎD + ADI)

Comme les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, alors
180 = DÎC + 90
DÎC = 90°


Dernière édition par Emilie le Mer 24 Mar - 19:05, édité 1 fois
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Message par Lilou le Mer 24 Mar - 19:05

Nouvelle expression de l'aire du trapeze ABCD en fonction de a, b et c :

Aire ABCD = Aire ADI + Aire IDC + Aire IBC

or AD = IB = a
AI = BC = b
ID = IC = c

Par suite, le triangle IDC est rectangke eb I et a ses cotés de l'angle droit égaux à c.
Le triangle IDC est donc isocèle en I
d'où :
Aire ABCD = (ab/2) + (c x c / 2) + (ab / 2)
2ab/2 + c²/2
= ab + c²/2
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Message par Lilou le Mer 24 Mar - 19:08

4) Fin de démonstration du théorème de Pyth :

a et b sont les mesures des cotés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et c, la mesure de son hypoténuse.
De plus, les deux expressions de l'aire du trapèze sont égales, d'où :

(b+a)²/2 = ab + c²/2
(b + a)² = 2ab +c²
b² + 2ab + a² = 2ab + c²
b² + a² = c²


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