Syae a écrit:Exercice 1
- Combien de nombres de 4 chiffres
comportent le chiffre 0 dans leur écriture ?
- Écrivez le nombre
obtenu en numération de position de base 8.
Exercice 2
-
70 personnes se rencontrent et se saluent en se serrant la main.
Chacune des personnes serre la main de toutes les autres.
Combien
de poignées de mains sont ainsi échangées ?
- Écrivez le nombre
obtenu en numération de position de base 12.
CorrectionExercice 1Dans ce type de problème, il est parfois plus simple de répondre à la question "contraire", à savoir ici chercher d'abord combien de nombres de 4 chiffres s'écrivent sans utiliser le chiffre 0.
Cherchons d'abord combien de nombres s'écrivent avec 4 chiffres : il y en a 9 000. En effet, de 1 à 9 999, il y a 9 999 nombres parmi lesquels 999 s'écrivent avec moins de 4 chiffres (ceux de 1 à 999).
Puis, parmi les nombres de 4 chiffres, cherchons combien s'écrivent sans utiliser le chiffre 0.Pour répondre à cette question, on peut imaginer un arbre de choix.
Pour chaque ordres d'unités (milliers, centaines, dizaines, unités), il y a 9 possibilités (chiffres de 1 à 9) indépendantes les unes des autres. Le nombre total de nombres qui s'écrivent avec 4 chiffres, sans 0, est donné par le calcul : 9x9x9x9 = 9^4 = 6 561.
Comme 9 000 - 6 561 = 2 439, il y a 2 439 nombres de 4 chiffres qui comportent le chiffre 0 dans leur écriture.(
/ ! \ Pour la suite de l'exercice, il s'agit d'une question personnelle que j'ai ajouté pour compléter l'exercice, la réponse suivante présente donc ma méthode de calcul mais ne constitue pas une méthode universelle !)
On cherche à écrire le nombre 2 439 en base 8.
Il y a 4 chiffres, je cherche donc dans un premier temps les valeurs des 4 premières puissances de 8 :
- 8^0 = 1
- 8^1 = 8
- 8^2 = 64
- 8^3 = 512
Je divise ensuite le nombre en base 10 par la plus grande puissance de 8 considérée ici, soit 8^3.
2 439 / 8^3 =
4 + un reste non entier naturel (0,76...)
Je retiens donc
4 comme chiffre des
milliers en base 8 et je retranche 4x8^3 au nombre initial, soit 2 439 - 2 048 = 391.
Je divise ensuite 391 par la puissance de 8 décroissante suivante, soit 8^2.
391 / 8^2 =
6 + un reste non entier naturel (0,10...)
Je retiens donc
6 comme chiffre des
centaines en base 8 et je retranche 6x8^2 au précédent nombre, soit 391 - 384 = 7.
Je divise ensuite 7 par la puissance de 8 décroissante suivante, soit 8^1.
7/8 =
0 + un reste non entier naturel (0,875)
Je retiens donc
0 comme chiffre des
dizaines en base 8 et je retranche 0x8^1 au précédent nombre soit 7 - 0 = 7.
Puisqu'il ne me reste
qu'un nombre d'unités, j'en déduis que le chiffre des unités en base 8 est
7.
Soit l'écriture finale de 2 439 en base 8 : 4 607.
Exercice 2Il peut être utile, pour "se faire une idée", de chercher la réponse dans un cas plus simple, par exemple en faisant un schéma.
-> Dans le cas de 5 personnes (A, B, C, D, E), on peut représenter les personnes par des croix et les poignées de main par des traits entre chaque croix.
Un tel schéma peut conduire à deux raisonnements :
Premier raisonnementSi on prend la croix de la personne A, on constate que 4 traits en partent.
En prenant une deuxième croix (personne B), on constate que 3 nouveaux traits (en dehors de celui déjà considéré pour la première croix) en partent, etc.
- Dans le cas du problème, cela revient à considérer qu'une première personne sert la main à 69 autres
- La deuxième personne (B), serre la main à 68 autres personnes (la poignée de main avec la première ayant déjà été considérée)
- La troisième personne (C), serre la main à 67 autres personnes (les poignées de main avec les deux premières ayant déjà été considérées). Et ainsi de suite...
Le nombre total de poignées de mains est donc donné par la somme S :S = 69 + 68 + 67 + ... + 3 + 2 + 1
Pour calculer facilement cette somme, il est commode de l'écrire à "l'envers". On l'obtient ainsi sous deux formes :
S = 69 + 68 + 67 + ... + 3 + 2 + 1
S = 1 + 2 + 3 + ... + 67 + 68 + 69
Si on ajoute terme à terme ces 2 égalités, on obtient :
2S = 70 + 70 + 70 ... + 70 + 70 + 70 (69 fois)
Donc 2S = 69x70 et S = 69x35 = 2 415
Le nombre de poignées de mains est donc égal à 2 415.(Voir aussi la technique "Lego-escaliers" qui permet d'imager cette technique de calcul postée un peu plus haut) Deuxième raisonnement- Sur le schéma, on observe que 4 traits partent de chaque croix.
- Dans le cas de 70 personnes, cela revient à considérer que chaque personne serre la main à 69 personnes. On pourrait donc penser que le nombre total de poignées est égal à 69x70 mais ça serait oublier que chaque poignée de main est ainsi comptée deux fois (de la personne A vers la personne B et de la personne B vers la personne A)
Il faut donc diviser ce résultat par 2, ce qui ramène au calcul (69X70)/2.En utilisant la même méthode de l'exercice 1, l'écriture en numération de position de base 12 de 2 415 s'écrit : 1 493
[Version synthétique ou comment je fais au brouillon sans prendre le soin d'expliquer par des phrases ce que je fais :
2 415 (base 12)
12^3 = 1 728 X
1 -> 687
12^2 = 144 x
4 -> 111
12^1 = 12 x
9 -> 3
12^0 =
3Bien sûr, une telle écriture signifie strictement rien, c'est juste histoire d'avoir une trace écrite de mes calculs :o]