[Training] Dénombrements et numérations

Partagez

Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Dim 11 Juil - 19:02

Merci Circé pour le vocabulaire (factoriel) et pour l'explication (ce n'est pas un détail !)
Sinon j'ai essayé de suivre ton conseil :
8 personnes vont se serrer la main 7+6+5+4+3+2+1 fois, ce qui fait 28 fois ... mais je n'arrive pas à trouver "l'astuce" ... que vous semblez tous connaître sauf moi

Merci Syae pour ton MP très détaillé (j'y réponds ici) ... mais je vais t'horrifier : heuu ... ça ne m'aide pas plus !! En fait je n'ai pas l'habitude de ce genre de pb, mais rassure-toi, je comprendrai celui-là à la fin.

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Dim 11 Juil - 19:50

Pas grave, prenons un autre exemple alors :)

Tu as un lego en forme d'escalier (un carré, puis deux carrés à sa droite, puis trois, puis quatre, puis cinq) et tu sais que l'ensemble fait 1 + 2 + 3 + 4 + 5, soit 15 carrés.

Tu prends un autre lego complémentaire afin de faire un joli rectangle en les imbriquant (cinq carrés, puis quatre carrés à sa droite, puis trois, puis deux, puis un) et tu sais que l'ensemble fait toujours 15 carrés sauf que ta séquence est cette fois-ci 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Comment trouver 15 carrés dans ce cas-là ? Tu formes le rectangle géant formé par les deux lego-escaliers (ça se dit ? :o) pour trouver 30 et tu divises par deux. Tu peux surtout te dire qu'en fait tu trouves 30 en faisant 6 (hauteur lego) X 5 (longueur lego) qui correspondent à la somme de 5 colonnes de 6 avec de gauche à droite : (1+5) + (2+4) + (3+3) + (4+2) + (5+1) = 5 X 6.

Dans ce cas-là, tu vas me dire que c'est débile de multiplier 5 par 6 puis de diviser par 2 vu que tu sais qu'un lego-escalier vaut 15 !

Mais dans ce problème ... que vaut 69 + 68 + ... + 2 + 1 ? Mystère :o
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Mar 13 Juil - 9:14

déjà merci pour tes explications nourries (et inventées pour l'occasion !)
j'ai un peu de mal à visualiser les légo-escaliers ... peut-être n'y ai-je pas assez joué dans ma jeunesse ?! peut-être avec un dessin ...

si j'essaye d'appliquer pour l'exercice ça ferait 70x70/2 ?? ... pale ... hemm, c'est vraiment pour essayer/proposer quelque chose que j'écris ça car je ne crois pas avoir encore bien compris ! Embarassed

p.s : tu peux donner la correction si tu ne veux pas te faire de cheveux blancs hein

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Mar 13 Juil - 10:04

super les exos!! merci! je me penche la dessus cet aprem!

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Mar 13 Juil - 14:08

Jibé a écrit:déjà merci pour tes explications nourries (et inventées pour l'occasion !)
j'ai un peu de mal à visualiser les légo-escaliers ... peut-être n'y ai-je pas assez joué dans ma jeunesse ?! peut-être avec un dessin ...

si j'essaye d'appliquer pour l'exercice ça ferait 70x70/2 ?? ... pale ... hemm, c'est vraiment pour essayer/proposer quelque chose que j'écris ça car je ne crois pas avoir encore bien compris ! Embarassed

p.s : tu peux donner la correction si tu ne veux pas te faire de cheveux blancs hein

L'astuce réside dans le fait d'écrire deux fois la même séquence (qui vaut une même somme) de deux façons complémentaires. Je pensais qu'avec les lego-escaliers, ça parlerait mais peut-être que la solution directe parlera mieux.

Dans le cas de l'exercice, tu cherches à déterminer la somme de 69 + 68 + ... + 2 + 1. Je te propose qu'on nomme cette nomme X.

X = 69 + 68 + ... + 2 + 1

On peut dire aussi :

X = 1 + 2 + ... + 68 + 69

Et si on les additionne (complète), on se retrouve avec :

2X = (69+1) + (68+2) + ... + (2+68) + (1+69)

Soit 2X = 70x69

Soit X = (70X69)/2

Cette astuce te permet de calculer très rapidement X et n'enlève en rien l'exactitude de ton raisonnement. C'est juste une technique de dénombrement évitant de longs calculs pouvant induire en erreur.

Maintenant que tu connais X (enfin presque, je te laisse calculer :p), à toi de convertir dans la base de numération de position demandée Wink
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Mar 13 Juil - 18:17

Syae a écrit:2X = (69+1) + (68+2) + ... + (2+68) + (1+69)

Soit 2X = 70x69

ha !
déjà merci encore pour les super explications !!!

et ensuite je ne comprends pas comment tu passes de la 1è ligne (ci-dessus) à la 2è :
2X d'accord puisqu'on prend 2 fois les additions successives, mais pourquoi 70x69 ? scratch
avatar
popsline
Modo
Modo

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par popsline le Mar 13 Juil - 18:28

Je m'incruste!

Je me posais la même question que toi Jibé, mais je pense avoir compris que c'est parce ce qu'on a 69 sommes (vu qu'on part de 69) et que chaques sommes (69 + 1 ; 68 + 2; etc) vaut 70.

Du coup on a bien 69 fois la somme 70 soit 69 x 70...

Syae tu confirmes??
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Mar 13 Juil - 18:53

haaaaaaan !
j'ai compris !! (sissi c'est possible )
je pense que tu as raison popsline.
On va attendre la confirmation de Syae .... pfuiii ! c'est quand même pas facile leurs questions Shocked

Je continue :
X = 2415

2415/12=201 et il reste 3
201/12=16 et il reste 9
16/12=1 et il reste 4

Donc 2415 écrit en base 10 s'écrit 1493 en base 12.

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Mar 13 Juil - 19:01

popsline a écrit:Je m'incruste!

Je me posais la même question que toi Jibé, mais je pense avoir compris que c'est parce ce qu'on a 69 sommes (vu qu'on part de 69) et que chaques sommes (69 + 1 ; 68 + 2; etc) vaut 70.

Du coup on a bien 69 fois la somme 70 soit 69 x 70...

Syae tu confirmes??

OOOOOOUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII !!!!

P.S : Les lego n'aident vraiment pas ?

P.P.S : Cette technique n'est pas exigée dans l'exo Jibé, tu pouvais faire ton calcul tout seul comme un grand, c'est juste une "astuce" :)

P.P.P.S : Je poste la correction totale dès que j'ai la motiv' XD
avatar
popsline
Modo
Modo

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par popsline le Mar 13 Juil - 19:05

Moi les légos m'ont aidés!!
Mon âme d'enfant surement! Wink
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Mar 13 Juil - 19:09

haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ! super !

Syae a écrit:P.S : Les lego n'aident vraiment pas ?
ben moi je ne visualise pas trop les légos (me faudrait un dessin )

Syae a écrit:P.P.S : Cette technique n'est pas exigée dans l'exo Jibé, tu pouvais faire ton calcul tout seul comme un grand, c'est juste une "astuce" :)

tu parles de la conversion du chiffre en base 12 ?
dans ce cas tu rédiges comment alors ? (remarque je verrai bien dans la correction)

Syae a écrit:P.P.P.S : Je poste la correction totale dès que j'ai la motiv' XD

super, merci Very Happy

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Mar 13 Juil - 20:25

Non, je faisais référence à la technique permettant de calculer 69+68...

Je poste bientôt la correction !
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Mar 13 Juil - 20:35

ok, merci !

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 8:16

J'ajoute 3 exercices sur ces mêmes thèmes :

1) Combien y’a-t-il d’entiers de 3 chiffres ? Combien d’entre eux auront deux chiffres identiques ? Trois chiffres identiques ?

2) Un nombre entier N ayant 3 chiffres commence par un 4. Ce nombre est 26 fois plus grand que le nombre à deux chiffres obtenu en enlevant le chiffre des centaines. Quel est ce nombre ?

3) Olivier affirme que si le chiffre des dizaines d’un entier de 3 chiffres est égal à la somme des deux autres chiffres alors ce nombre est divisible par 11. Démontrer la proposition d’Olivier.

Pour la correction :
- par MP
- par mail (pamotte.crpe@gmail.com)
Parce qu'en postant ici la correction tout de suite, ca incite pas mal de personnes à faire les exos sans remercier ceux qui les ont mis !

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 8:28

Après avoir posté ma correction pour les miens et quand je reprendrais la voie des maths, je tenterais de faire les tiens Pamotte Wink

(Tu auras un joli MP après :p)
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Jeu 15 Juil - 8:58

houlà,
à ta place Pamotte je ferais un autre post pour les nouveaux exos que tu donnes, sinon ça risque fort de s'embrouiller tout ça !

et Syae, on attend la correction Wink

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 9:05

Je les ai mis là pour ne pas faire doublon.. On regroupe ici tous les exos de numération non ?
J'ajoute ces exos à la suite du premier post de Syae alors !

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 9:15

Euh oui, ça serait plus pratique pour tous de regrouper les exos par thèmes personnellement. Bien plus pratique et comme ça on peut s'y retrouver entre les différents types de numérations ou de dénombrements dans ce topic-ci par exemple.

Promis Jibé, je fais ça à ma pause !
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Jeu 15 Juil - 9:26

ha bon, comme vous voulez, pas de pb, c'est juste parce que j'avais peur que entre les réponses-commentaires des 1ers exs. et les nouveaux que tu donnes je pensais qu'on ne saurait plus au bout d'un moment de quoi on parlait.

-> promesse enregistrée Syae Very Happy

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 9:42

Il faut juste qu'on précise à chaque fois de quel exercice on parle... Mais c'est surtout pour éviter les doublons, qui peuvent surcharger le serveur à force. Après, si ca devient trop le bazar, on avisera (on fera ou des sujets distincts, ou on regroupera dans un unique message tout ce qui concerne tel ou tel exo). On verra, pour l'instant on n'est pas beaucoup à les travailler (enfin, peu à se manifester en tout cas !)

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 11:36

Clair qu'on est peu à se manifester librement et même ceux bossant nos exos dans l'ombre ne doivent pas être bien nombreux :)

Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 13:46

Syae a écrit:Exercice 1

- Combien de nombres de 4 chiffres
comportent le chiffre 0 dans leur écriture ?

- Écrivez le nombre
obtenu en numération de position de base 8.

Exercice 2

-
70 personnes se rencontrent et se saluent en se serrant la main.
Chacune des personnes serre la main de toutes les autres.

Combien
de poignées de mains sont ainsi échangées ?

- Écrivez le nombre
obtenu en numération de position de base 12.


Correction

Exercice 1

Dans ce type de problème, il est parfois plus simple de répondre à la question "contraire", à savoir ici chercher d'abord combien de nombres de 4 chiffres s'écrivent sans utiliser le chiffre 0.

Cherchons d'abord combien de nombres s'écrivent avec 4 chiffres : il y en a 9 000. En effet, de 1 à 9 999, il y a 9 999 nombres parmi lesquels 999 s'écrivent avec moins de 4 chiffres (ceux de 1 à 999).

Puis, parmi les nombres de 4 chiffres, cherchons combien s'écrivent sans utiliser le chiffre 0.

Pour répondre à cette question, on peut imaginer un arbre de choix.

Pour chaque ordres d'unités (milliers, centaines, dizaines, unités), il y a 9 possibilités (chiffres de 1 à 9) indépendantes les unes des autres. Le nombre total de nombres qui s'écrivent avec 4 chiffres, sans 0, est donné par le calcul : 9x9x9x9 = 9^4 = 6 561.

Comme 9 000 - 6 561 = 2 439, il y a 2 439 nombres de 4 chiffres qui comportent le chiffre 0 dans leur écriture.

( / ! \ Pour la suite de l'exercice, il s'agit d'une question personnelle que j'ai ajouté pour compléter l'exercice, la réponse suivante présente donc ma méthode de calcul mais ne constitue pas une méthode universelle !)

On cherche à écrire le nombre 2 439 en base 8.

Il y a 4 chiffres, je cherche donc dans un premier temps les valeurs des 4 premières puissances de 8 :

- 8^0 = 1
- 8^1 = 8
- 8^2 = 64
- 8^3 = 512

Je divise ensuite le nombre en base 10 par la plus grande puissance de 8 considérée ici, soit 8^3.

2 439 / 8^3 = 4 + un reste non entier naturel (0,76...)

Je retiens donc 4 comme chiffre des milliers en base 8 et je retranche 4x8^3 au nombre initial, soit 2 439 - 2 048 = 391.

Je divise ensuite 391 par la puissance de 8 décroissante suivante, soit 8^2.

391 / 8^2 = 6 + un reste non entier naturel (0,10...)

Je retiens donc 6 comme chiffre des centaines en base 8 et je retranche 6x8^2 au précédent nombre, soit 391 - 384 = 7.

Je divise ensuite 7 par la puissance de 8 décroissante suivante, soit 8^1.

7/8 = 0 + un reste non entier naturel (0,875)

Je retiens donc 0 comme chiffre des dizaines en base 8 et je retranche 0x8^1 au précédent nombre soit 7 - 0 = 7.

Puisqu'il ne me reste qu'un nombre d'unités, j'en déduis que le chiffre des unités en base 8 est 7.

Soit l'écriture finale de 2 439 en base 8 : 4 607.

Exercice 2

Il peut être utile, pour "se faire une idée", de chercher la réponse dans un cas plus simple, par exemple en faisant un schéma.

-> Dans le cas de 5 personnes (A, B, C, D, E), on peut représenter les personnes par des croix et les poignées de main par des traits entre chaque croix.

Un tel schéma peut conduire à deux raisonnements :

Premier raisonnement

Si on prend la croix de la personne A, on constate que 4 traits en partent.

En prenant une deuxième croix (personne B), on constate que 3 nouveaux traits (en dehors de celui déjà considéré pour la première croix) en partent, etc.

- Dans le cas du problème, cela revient à considérer qu'une première personne sert la main à 69 autres
- La deuxième personne (B), serre la main à 68 autres personnes (la poignée de main avec la première ayant déjà été considérée)
- La troisième personne (C), serre la main à 67 autres personnes (les poignées de main avec les deux premières ayant déjà été considérées). Et ainsi de suite...

Le nombre total de poignées de mains est donc donné par la somme S :

S = 69 + 68 + 67 + ... + 3 + 2 + 1

Pour calculer facilement cette somme, il est commode de l'écrire à "l'envers". On l'obtient ainsi sous deux formes :

S = 69 + 68 + 67 + ... + 3 + 2 + 1
S = 1 + 2 + 3 + ... + 67 + 68 + 69

Si on ajoute terme à terme ces 2 égalités, on obtient :

2S = 70 + 70 + 70 ... + 70 + 70 + 70 (69 fois)

Donc 2S = 69x70 et S = 69x35 = 2 415

Le nombre de poignées de mains est donc égal à 2 415.

(Voir aussi la technique "Lego-escaliers" qui permet d'imager cette technique de calcul postée un peu plus haut)

Deuxième raisonnement

- Sur le schéma, on observe que 4 traits partent de chaque croix.
- Dans le cas de 70 personnes, cela revient à considérer que chaque personne serre la main à 69 personnes. On pourrait donc penser que le nombre total de poignées est égal à 69x70 mais ça serait oublier que chaque poignée de main est ainsi comptée deux fois (de la personne A vers la personne B et de la personne B vers la personne A)

Il faut donc diviser ce résultat par 2, ce qui ramène au calcul (69X70)/2.

En utilisant la même méthode de l'exercice 1, l'écriture en numération de position de base 12 de 2 415 s'écrit : 1 493

[Version synthétique ou comment je fais au brouillon sans prendre le soin d'expliquer par des phrases ce que je fais :

2 415 (base 12)

12^3 = 1 728 X 1 -> 687
12^2 = 144 x 4 -> 111
12^1 = 12 x 9 -> 3
12^0 = 3

Bien sûr, une telle écriture signifie strictement rien, c'est juste histoire d'avoir une trace écrite de mes calculs :o]
avatar
Jibé
Blablateur bavard
Blablateur bavard

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Jibé le Jeu 15 Juil - 19:44

- ouuuuh ! très joli la première partie de la réponse 1 : raisonner par l'inverse !! ça fait gagner du temps par rapport à ma façon de faire (j'avais quand même bon ! Cool )

- pour la suite de l'ex. par contre je préfère ma méthode (surtout pour la rapidité : le jour J il n'y a pas une sec. à perdre !)

- merci pour ta longue explication, moi j'ai bien compris !!




Invité
Invité

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité le Jeu 15 Juil - 19:59

Je risque de faire comme toi en fait, je réalise

Tant mieux si la correction passe sans souci :)

Contenu sponsorisé

Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Contenu sponsorisé


    La date/heure actuelle est Lun 18 Juin - 0:21