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4 participants

    Probabilités - exercices


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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Circé Mer 8 Sep - 9:19

    De la façon dont je l'ai fait c'est aussi au programme, mais j'ai pas encore reçu la confirmation de mon homme et comme il est en déplacement je sais pas qd il pourra le faire... S'il a pas répondu ce soir je vous mettrai qd même mon idée et vous me direz si vous pensez que c'est correct.
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    Message par Invité Mer 8 Sep - 9:48

    Ce forum est génial, tout le monde tente !
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 10:11

    C'est au programme (et merci pour ce joli exercice, je vais le soumettre à mes étudiants :) ).
    Sans vous donner directement la solution, un indice : on peut représenter le calcul demandé grâce à un arbre dans lequel on fait apparaître plusieurs branches. Après avoir tiré la première chaussure, qui peut être n'importe laquelle, on tire la deuxième. A-t-on fait une paire ? Séparer les deux cas possibles. S'il n'y a pas de paire, on tire une troisième chaussure. A-t-on fait une paire ? etc.
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 10:14

    Tu es professeur ?!

    C'est hyper long avec un arbre alors, un trèèès grand arbre, un séquoia ?
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    Message par Invité Mer 8 Sep - 10:21

    Non, ce n'est pas aussi long. En fait, lorsque l'on construit un arbre, toutes les branches n'ont pas forcément la même longueur.
    Voici le début de la construction de l'arbre. Pour le tirage de la deuxième chaussure, je crée deux branches. La première branche sera "j'ai créé une paire", la deuxième branche est "je n'ai pas de paire". La probabilité de la première branche est 1/19 puisque pour faire une paire, une seule chaussure convient parmi 19, ainsi la probabilité de la deuxième branche est 18/19.
    Le traitement de la première branche est fini, puisqu'au final on aura bien au moins une paire, c'est ce que l'énoncé réclame. Il faut donc s'attaquer maintenant à la deuxième branche, que l'on sépare en deux selon le tirage de la troisième chaussure. Puis, pour finir, parmi les deux branches nouvellement créées, il faudra encore séparer l'une des deux en deux possibilités selon le tirage de la quatrième chaussure.
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 10:34

    Bon alors je tente mais je suis pas sûr et je n'arrive pas jusqu'à la fin Embarassed (mais il m'énerve et je veux le vaincre) :

    je tire une 2e chaussure 3e chaussure 4e chaussure
    Chaussure 1 ---- forme une paire--------------------------------------------------------------------- 1/19
    ---- ne forme pas une paire --- forme une paire------------------------------------------ 18/19 x 1/19 = 1/361
    ---- ne forme pas une paire ---- forme une paire ------------- 18/19 x 18/19 x 1/19 = 324/6859
    ---- ne forme pas une paire ------ 18/19 x 18/19 x 18/19 = 5832/6859

    et on recommence avec toutes les chaussures (mais il va y avoir des doublons et je ne sais pas comment ne pas les compter 2 fois)

    donc il y a 20 (nombres de chaussures) x (1/19 + 1/361 + 324/6859) (chance qu'on ait une paire)
    20 x 19 x 18 x 17 (nombre de possibilités totale)

    scratch scratch scratch scratch scratch
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    Message par Invité Mer 8 Sep - 10:51

    Aie ! Malheureusement ce n'est pas correct. L'erreur principale commise dans ce raisonnement est de ne pas tenir compte des chaussures que l'on enlève au fur et à mesure.
    La solution en blanc, pour laisser les autres chercher Wink. J'espère que tout ce qui suit est suffisamment clair, sinon je rajouterai des explications.

    J'ai déjà tiré une première chaussure.
    J'en tire une deuxième. Deux cas sont possibles : 1) j'ai créé une paire, ou 2) je n'ai pas de paire.

    Le cas 1) se produit avec une probabilité de 1/19 car il y a une chaussure parmi 19 qui permet de faire une paire avec la première tirée ; le cas 2) se produit avec une probabilité de 18/19.

    Si j'ai une paire, j'ai fini : au final, en continuant de tirer des chaussures, j'aurais bien au moins une paire. Donc maintenant, on s'intéresse uniquement au cas 2), je n'ai pas encore de paire.

    Je tire une troisième chaussure. Deux cas sont possibles : 2.1) cette troisième fait une paire, et 2.2) je n'ai toujours pas de paire.

    Le cas 2.1) se produit avec une probabilité de 2/18, car parmi les 18 chaussures à ma disposition au moment de choisir la troisième, il y en a 2 qui me permettront de constituer une paire. On en déduit que la probabilité de 2.2), sachant que l'on est dans le cas 2) (c'est une probabilité conditionnelle - désolé pour cette grossièreté) est le complément à 1 de 2/18, soit 16/18.

    Si j'ai une paire, j'ai fini, cf remarque précédente. Donc maintenant, on s'intéresse uniquement au cas 2.2), je n'ai pas encore de paire.

    Je tire une quatrième chaussure. Deux cas sont possibles : 2.2.1) j'ai enfin une paire, et 2.2.2) je n'aurai finalement pas de paire.

    Le cas 2.2.1) se produit avec une probabilité de 3/17, car il me reste dans le tas 17 chaussures, et avec les 3 issues de paires différentes déjà tirées, cela fait bien 3 possibilités pour obtenir une paire. On en déduit la probabilité de 2.2.2) sous la condition 2.2) qui est 14/17.

    Au final, il reste maintenant à extraire toutes les probabilités menant à (au moins) une paire et les ajouter.

    Cas 1 : 1/19

    Cas 2.1 : 18/19 * 2/18 (on multiplie car il y a une grosse branche constituée de deux parties, c'est le coup de la probabilité conditionnelle : il faut d'une part se trouver dans le cas 2, puis une fois dans ce cas se trouver dans le cas 2.1)

    Cas 2.2.1 : 18/19 * 16/18 * 3/17 (même chose que précédemment, avec trois parties cette fois)

    Au final, la probabilité cherchée est donc (après simplification et mise sous dénominateur commun) : 99/323.
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 10:56

    [quote="jaybe"]Aie ! Malheureusement ce n'est pas correct. L'erreur principale commise dans ce raisonnement est de ne pas tenir compte des chaussures que l'on enlève au fur et à mesure.
    La solution en blanc, pour laisser les autres chercher Wink. J'espère que tout ce qui suit est suffisamment clair, sinon je rajouterai des explications.


    Merci Probabilités - exercices - Page 2 904595 j'ai compris, mais franchement j'aurais été incapable de le faire affraid
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 11:01

    Je vais regarder ca tranquillement ce soir... ! MErci en tout cas !
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 11:01

    Merci beaucoup.
    C'est bon, je l'ai refait et j'ai tout compris. Effectivement je n'avais tenu compte, qu'en partie, des chaussures qu'on tirait au fur et à mesure. Mais comme Lys, j'aurai jamais su le faire toute seule.

    Merci Pamotte de nous avoir fait découvrir cet exo !!!


    Dernière édition par Nathanaelle le Mer 8 Sep - 11:03, édité 1 fois
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 11:02

    C'est un exercice d'un niveau assez élevé. Je pense que ce genre de choses ne tomberait pas tel quel au concours. Par contre, décortiqué, ça ferait un bon problème en rajoutant des questions intermédiaires du genre : a) après avoir tiré la deuxième chaussure, quelle est la probabilité ... b) on suppose qu'après avoir tiré la deuxième chaussure on n'a pas de paire ; on en tire une troisième, quelle est la probabilité ... etc.

    Une remarque pour celles et ceux qui se demanderaient pourquoi le résultat n'est pas celui proposé par RoBeRTo-BeNDeR sur un autre forum. Il a commis une erreur de raisonnement dans la partie "On peut obtenir 10 paires différentes et il reste à prendre 2 chaussures parmi 18" car ici il compte plusieurs fois le même cas qui correspond à l'existence de deux paires (ce qui est toutefois rare, et cela explique que le résultat est "assez proche" de sa réponse 6/19).


    Dernière édition par jaybe le Mer 8 Sep - 11:10, édité 2 fois
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 11:04

    Vraiment merci !

    Je vous propose en lien les cours et corrigés tirés du site Académie en ligne du CNED, pas mal pour ceux qui ont du mal, pour y aller progressivement... Si vous avez d'autres exos !

    http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA31/AL4MA31TEWB0109-Sequence-01.pdf
    http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA31/AL4MA31TEWB0109-Livret-corriges-Partie-01.pdf
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Circé Mer 8 Sep - 13:31

    Bon ben j'ai bien fait de rien mettre je me suis apparemment plantée, mais je ne comprends pas trop pourquoi (ça c'est bête Rolling Eyes ).
    Je vous mets mon raisonnement : (Si Jaybe tu peux me dire où est mon erreur ça serait super sympa ?)

    Tu tires une 1ère chaussure => elle est d'une couleur x => reste 19 chaussures

    Tu tires une 2ème chaussure => P qu'elle soit aussi d'une couleur x : P = 1/19 => reste 18 chaussures
    => P qu'elle soit d'une couleur y : Py = 18/19

    Tu tires une 3ème chaussure => P qu'elle soit aussi d'une couleur x : P = 1/18 => reste 17 chaussures
    => P qu'elle soit aussi d'une couleur y : P = 1/18
    => P qu'elle soit d'une couleur z : Pz = 17/18

    Tu tires une 4ème chaussure => P qu'elle soit aussi d'une couleur x : P = 1/17
    => P qu'elle soit aussi d'une couleur y : P = 1/17
    => P qu'elle soit aussi d'une couleur z : P = 1/17
    => P qu'elle soit d'une couleur t : Pt = 16/17

    Peut-être passer par les contraires, quelle est la proba qu'il dispose que de chaussures différentes : Ptotale = 1 - (Py * Pz * Pt) = 1 - 18/19 * 17/18 * 16/17 = 1 - 0.842 = 0.158

    Bon je me suis embêtée avec les histoires de couleurs au lieu de prendre ça fait une paire ou pas, mais comme au final je passe par les contraires, je vois pas où je me trompe...
    Pourquoi ils ont ajouté les probas... c'est bien le seul truc de maths que j'aime pas ! Evil or Very Mad
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    Probabilités - exercices - Page 2 Empty Re: Probabilités - exercices

    Message par Invité Mer 8 Sep - 16:56

    Si cela peut vous rassurer, beaucoup de matheux ne placent pas les probabilités parmi leurs branches mathématiques préférées...

    Blague à part, voici l'erreur dans ce raisonnement. Au moment du tirage de la troisième chaussure, on a deux possibilités de faire une paire, donc 2/18 et pas 1/18. Ce 1/18 pourrait représenter la probabilité de faire une paire avec la première chaussure par exemple, ou bien la deuxième, mais on ne fixe pas parmi les deux déjà choisies laquelle va servir à constituer une paire avec la troisième.
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    Message par Invité Mer 8 Sep - 18:08

    je ne comprends pas bien
    j'ai 20 chaussures
    1er tirage p= 1/20
    2eme tirage 1 paire: p= 1/19 pas 1paire p = 18/19
    3ème tirage 1 paire : p = 2/18 pas 1 paire p = 16/18
    4ème tirage 1 paire : p = 3/17 pas 1 paire p = 14/17

    la proba d'avoir une paire au moins de chaussures est p = 1/20 x 1/19x 2/18 x 3/17 = 6/116280 = 1/19380 ?????
    Crying or Very sad
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    Message par Invité Mer 8 Sep - 18:41

    On ne peut pas multiplier toutes les quantités entre elles ! Quand on fait un produit, cela signifie que l'on considère plusieurs conditions qui sont satisfaites en même temps. Ici, comme on partage un événement possible (présence d'une paire) en plusieurs cas à étudier, il faut regarder séparément les probabilités de chacune, puis faire la somme à la fin.
    vixine92
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    Message par vixine92 Mer 8 Sep - 20:27

    Merci à jaybe pour la correction.

    Je n'aurai pas réussi à faire l'exercice ainsi. Mais avec des questions intermédiaires peut-être ... Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

    Alors espérons que ce sera plus simple que cela le jour du concours. Parce que vu comme j'ai du mal à apprendre l'histoire géo, si je décroche pas un 11 ou un 12 en Maths, ma matière fétiche, je peux dire au revoir aux oraux ... Evil or Very Mad Twisted Evil pale
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    Message par Circé Mer 8 Sep - 23:06

    jaybe a écrit:Si cela peut vous rassurer, beaucoup de matheux ne placent pas les probabilités parmi leurs branches mathématiques préférées...

    Blague à part, voici l'erreur dans ce raisonnement. Au moment du tirage de la troisième chaussure, on a deux possibilités de faire une paire, donc 2/18 et pas 1/18. Ce 1/18 pourrait représenter la probabilité de faire une paire avec la première chaussure par exemple, ou bien la deuxième, mais on ne fixe pas parmi les deux déjà choisies laquelle va servir à constituer une paire avec la troisième.

    Ah oui je suis bête !!!!!!!!!!!!!! Merci beaucoup !!!!!!! (pour la correction et pour la proposition d'exercice !)
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    Message par popsline Jeu 9 Sep - 16:29

    Ma question va surement vous paraître bête mais tant pis!
    Je pense avoir à peu près compris le raisonnement, pourtant je ne vois pas pourquoi on s'arrête à la quatrième chaussure tirée pour faire la multiplication. Probabilités - exercices - Page 2 Icon_scratch Probabilités - exercices - Page 2 Icon_scratch
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    Message par Invité Jeu 9 Sep - 16:37

    popsline a écrit:Ma question va surement vous paraître bête mais tant pis!
    Je pense avoir à peu près compris le raisonnement, pourtant je ne vois pas pourquoi on s'arrête à la quatrième chaussure tirée pour faire la multiplication. Probabilités - exercices - Page 2 Icon_scratch Probabilités - exercices - Page 2 Icon_scratch

    Car la suite ne nous importe pas. il nous faut 4 chaussures et 2 paires, on ne s'occupe que d'eux !!! J'espère que je t'ai aidée ?!
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    Message par popsline Jeu 9 Sep - 16:57

    Ahh mais oui l'énoncé dit qu'il en extrait 4 donc forcément... Je suis bête... Probabilités - exercices - Page 2 Icon_rolleyes
    Merci Nath! Probabilités - exercices - Page 2 904595
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    Message par clairebois Ven 10 Sep - 1:55

    ch1le2 a écrit:je ne comprends pas bien
    j'ai 20 chaussures
    1er tirage p= 1/20
    2eme tirage 1 paire: p= 1/19 pas 1paire p = 18/19
    3ème tirage 1 paire : p = 2/18 pas 1 paire p = 16/18
    4ème tirage 1 paire : p = 3/17 pas 1 paire p = 14/17

    la proba d'avoir une paire au moins de chaussures est p = 1/20 x 1/19x 2/18 x 3/17 = 6/116280 = 1/19380 ?????
    Crying or Very sad

    jaybe a écrit:On ne peut pas multiplier toutes les quantités entre elles ! Quand on fait un produit, cela signifie que l'on considère plusieurs conditions qui sont satisfaites en même temps. Ici, comme on partage un événement possible (présence d'une paire) en plusieurs cas à étudier, il faut regarder séparément les probabilités de chacune, puis faire la somme à la fin.


    Alors là, je suis perplexe scratch car après avoir fait moult essais, je n'arrive toujours pas à la solution !!! Pourtant, je pense avoir compris le raisonnement. Peut-être une erreur de calculs ? Quels sont les nombres ajoutés ?
    Merci de bien vouloir éclairer mon esprit embrouillé Sleep
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    Message par Invité Ven 10 Sep - 7:53

    Pas de souci !

    Premier cas de figure : j'ai une paire dès la deuxième chaussure tirée et on se fiche de savoir ce qui se passe après. Probabilité : 1/19.

    Deuxième cas de figure : je n'ai pas de paire lorsque je tire la deuxième chaussure, mais j'ai une paire lorsque je tire la troisième chaussure et on se fiche de savoir ce qui se passe après. Probabilité : 18/19 * 2/18 = 2/19.

    Troisième cas de figure : je n'ai pas de paire lorsque je tire la deuxième chaussure, ni lorsque je tire la troisième chaussure, mais j'ai enfin une paire lorsque je tire la quatrième chaussure. Probabilité : 18/19 * 16/18 * 3/17 = 48/323.

    Comme les trois cas sont bien disjoints (on peut aussi dire incompatible, c'est pareil), et comme tirer une paire correspond bien à exactement l'une des trois situations, il ne reste plus qu'à faire la somme de ces quantités pour obtenir la probabilité recherchée.
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    Message par clairebois Dim 12 Sep - 11:07

    Merci bcp Jaybe, j'ai enfin compris mon erreur : je m'entêtais à vouloir prendre en compte 1/20 du premier tirage (donc finalement mon raisonnement était erroné)
    Rolling Eyes
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    Message par Invité Dim 12 Sep - 14:29

    Pour celles et ceux que ça intéresse, voici un exercice assez difficile connu sous le nom de "paradoxe du faux positif".

    On considère une population constituée d'un million d'individus. Une maladie apparaît et touche exactement une personne sur dix mille. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test qui est censé permettre à toute personne si elle est atteinte ou non par cette nouvelle maladie. La fiabilité de ce test est de 99% (cela signifie que pour 100 personnes qui passent ce test, pour 99 d'entre elles le test leur donne leur véritable statut malade/sain et pour 1 personne le résultat du test est contraire à son véritable état).

    1) Calculer le nombre de personnes réellement malades et le nombre de personnes réellement saines.

    2) Calculer le nombre de personnes réellement malades qui sont déclarées malades par le test, le nombre de personnes réellement malades qui sont déclarées saines par le test, le nombre de personnes saines qui sont déclarées malades par le test et le nombre de personnes saines qui sont déclarées saines.

    3) Parmi toutes les personnes déclarées malades par le test, calculer la proportion de celles qui sont réellement malades et la proportion de celles qui sont saines. Que peut-on en conclure sur l'utilité du test ?
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    Message par Invité Dim 12 Sep - 16:13

    Merci pour cet exo.
    Alors, j'essaie :

    1) Nb de pers. réellement malades : 1 000 000 x 1/ 10 000 = 100 personnes malades
    Nb de personnes réellement saines : 1 000 000 x 9 999/10 000 = 999 900 personnes saines

    2)Nb de pers. réellement malades déclarées malades par le test : 100 x 99/100 = 99 personnes
    Nb de pers. réellement malades déclarées saines par le test : 100 x 1/100 = 1 personne
    Nb de pers. réellement saines déclarées malades par le test : 999 900 x 1/100 = 9 999 personnes
    Nb de pers. réellement saines déclarées saines par le test : 999 900 x 99/100 = 989 901 personnes

    3) Nb de personnes déclarées malades par le test : 99 + 9 999 = 10 098 personnes
    proportion de personnes réellement malades parmi les personnes déclarées malades : 99/ 10 098 = 1/102
    proportion de personnes réellement saines parmi les personnes déclarées malades : 9 999/10 098 = 101/102

    Pour 102 personnes personnes qui sont déclarés malades par le test, suelement 1 personne est réellement malade.

    ça me parait un peu bizarre comme réponse scratch mais bon ...

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