Probabilités - exercices

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 8 Sep - 11:02

C'est un exercice d'un niveau assez élevé. Je pense que ce genre de choses ne tomberait pas tel quel au concours. Par contre, décortiqué, ça ferait un bon problème en rajoutant des questions intermédiaires du genre : a) après avoir tiré la deuxième chaussure, quelle est la probabilité ... b) on suppose qu'après avoir tiré la deuxième chaussure on n'a pas de paire ; on en tire une troisième, quelle est la probabilité ... etc.

Une remarque pour celles et ceux qui se demanderaient pourquoi le résultat n'est pas celui proposé par RoBeRTo-BeNDeR sur un autre forum. Il a commis une erreur de raisonnement dans la partie "On peut obtenir 10 paires différentes et il reste à prendre 2 chaussures parmi 18" car ici il compte plusieurs fois le même cas qui correspond à l'existence de deux paires (ce qui est toutefois rare, et cela explique que le résultat est "assez proche" de sa réponse 6/19).


Dernière édition par jaybe le Mer 8 Sep - 11:10, édité 2 fois

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 8 Sep - 11:04

Vraiment merci !

Je vous propose en lien les cours et corrigés tirés du site Académie en ligne du CNED, pas mal pour ceux qui ont du mal, pour y aller progressivement... Si vous avez d'autres exos !

http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA31/AL4MA31TEWB0109-Sequence-01.pdf
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/4/MA31/AL4MA31TEWB0109-Livret-corriges-Partie-01.pdf
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Circé
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Re: Probabilités - exercices

Message par Circé le Mer 8 Sep - 13:31

Bon ben j'ai bien fait de rien mettre je me suis apparemment plantée, mais je ne comprends pas trop pourquoi (ça c'est bête Rolling Eyes ).
Je vous mets mon raisonnement : (Si Jaybe tu peux me dire où est mon erreur ça serait super sympa ?)

Tu tires une 1ère chaussure => elle est d'une couleur x => reste 19 chaussures

Tu tires une 2ème chaussure => P qu'elle soit aussi d'une couleur x : P = 1/19 => reste 18 chaussures
=> P qu'elle soit d'une couleur y : Py = 18/19

Tu tires une 3ème chaussure => P qu'elle soit aussi d'une couleur x : P = 1/18 => reste 17 chaussures
=> P qu'elle soit aussi d'une couleur y : P = 1/18
=> P qu'elle soit d'une couleur z : Pz = 17/18

Tu tires une 4ème chaussure => P qu'elle soit aussi d'une couleur x : P = 1/17
=> P qu'elle soit aussi d'une couleur y : P = 1/17
=> P qu'elle soit aussi d'une couleur z : P = 1/17
=> P qu'elle soit d'une couleur t : Pt = 16/17

Peut-être passer par les contraires, quelle est la proba qu'il dispose que de chaussures différentes : Ptotale = 1 - (Py * Pz * Pt) = 1 - 18/19 * 17/18 * 16/17 = 1 - 0.842 = 0.158

Bon je me suis embêtée avec les histoires de couleurs au lieu de prendre ça fait une paire ou pas, mais comme au final je passe par les contraires, je vois pas où je me trompe...
Pourquoi ils ont ajouté les probas... c'est bien le seul truc de maths que j'aime pas ! Evil or Very Mad

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 8 Sep - 16:56

Si cela peut vous rassurer, beaucoup de matheux ne placent pas les probabilités parmi leurs branches mathématiques préférées...

Blague à part, voici l'erreur dans ce raisonnement. Au moment du tirage de la troisième chaussure, on a deux possibilités de faire une paire, donc 2/18 et pas 1/18. Ce 1/18 pourrait représenter la probabilité de faire une paire avec la première chaussure par exemple, ou bien la deuxième, mais on ne fixe pas parmi les deux déjà choisies laquelle va servir à constituer une paire avec la troisième.

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 8 Sep - 18:08

je ne comprends pas bien
j'ai 20 chaussures
1er tirage p= 1/20
2eme tirage 1 paire: p= 1/19 pas 1paire p = 18/19
3ème tirage 1 paire : p = 2/18 pas 1 paire p = 16/18
4ème tirage 1 paire : p = 3/17 pas 1 paire p = 14/17

la proba d'avoir une paire au moins de chaussures est p = 1/20 x 1/19x 2/18 x 3/17 = 6/116280 = 1/19380 ?????
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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 8 Sep - 18:41

On ne peut pas multiplier toutes les quantités entre elles ! Quand on fait un produit, cela signifie que l'on considère plusieurs conditions qui sont satisfaites en même temps. Ici, comme on partage un événement possible (présence d'une paire) en plusieurs cas à étudier, il faut regarder séparément les probabilités de chacune, puis faire la somme à la fin.
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Re: Probabilités - exercices

Message par vixine92 le Mer 8 Sep - 20:27

Merci à jaybe pour la correction.

Je n'aurai pas réussi à faire l'exercice ainsi. Mais avec des questions intermédiaires peut-être ... Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

Alors espérons que ce sera plus simple que cela le jour du concours. Parce que vu comme j'ai du mal à apprendre l'histoire géo, si je décroche pas un 11 ou un 12 en Maths, ma matière fétiche, je peux dire au revoir aux oraux ... Evil or Very Mad Twisted Evil pale
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Re: Probabilités - exercices

Message par Circé le Mer 8 Sep - 23:06

jaybe a écrit:Si cela peut vous rassurer, beaucoup de matheux ne placent pas les probabilités parmi leurs branches mathématiques préférées...

Blague à part, voici l'erreur dans ce raisonnement. Au moment du tirage de la troisième chaussure, on a deux possibilités de faire une paire, donc 2/18 et pas 1/18. Ce 1/18 pourrait représenter la probabilité de faire une paire avec la première chaussure par exemple, ou bien la deuxième, mais on ne fixe pas parmi les deux déjà choisies laquelle va servir à constituer une paire avec la troisième.

Ah oui je suis bête !!!!!!!!!!!!!! Merci beaucoup !!!!!!! (pour la correction et pour la proposition d'exercice !)
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Re: Probabilités - exercices

Message par popsline le Jeu 9 Sep - 16:29

Ma question va surement vous paraître bête mais tant pis!
Je pense avoir à peu près compris le raisonnement, pourtant je ne vois pas pourquoi on s'arrête à la quatrième chaussure tirée pour faire la multiplication.

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Jeu 9 Sep - 16:37

popsline a écrit:Ma question va surement vous paraître bête mais tant pis!
Je pense avoir à peu près compris le raisonnement, pourtant je ne vois pas pourquoi on s'arrête à la quatrième chaussure tirée pour faire la multiplication.

Car la suite ne nous importe pas. il nous faut 4 chaussures et 2 paires, on ne s'occupe que d'eux !!! J'espère que je t'ai aidée ?!
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Re: Probabilités - exercices

Message par popsline le Jeu 9 Sep - 16:57

Ahh mais oui l'énoncé dit qu'il en extrait 4 donc forcément... Je suis bête...
Merci Nath!
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Re: Probabilités - exercices

Message par clairebois le Ven 10 Sep - 1:55

ch1le2 a écrit:je ne comprends pas bien
j'ai 20 chaussures
1er tirage p= 1/20
2eme tirage 1 paire: p= 1/19 pas 1paire p = 18/19
3ème tirage 1 paire : p = 2/18 pas 1 paire p = 16/18
4ème tirage 1 paire : p = 3/17 pas 1 paire p = 14/17

la proba d'avoir une paire au moins de chaussures est p = 1/20 x 1/19x 2/18 x 3/17 = 6/116280 = 1/19380 ?????
Crying or Very sad

jaybe a écrit:On ne peut pas multiplier toutes les quantités entre elles ! Quand on fait un produit, cela signifie que l'on considère plusieurs conditions qui sont satisfaites en même temps. Ici, comme on partage un événement possible (présence d'une paire) en plusieurs cas à étudier, il faut regarder séparément les probabilités de chacune, puis faire la somme à la fin.


Alors là, je suis perplexe scratch car après avoir fait moult essais, je n'arrive toujours pas à la solution !!! Pourtant, je pense avoir compris le raisonnement. Peut-être une erreur de calculs ? Quels sont les nombres ajoutés ?
Merci de bien vouloir éclairer mon esprit embrouillé Sleep

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Ven 10 Sep - 7:53

Pas de souci !

Premier cas de figure : j'ai une paire dès la deuxième chaussure tirée et on se fiche de savoir ce qui se passe après. Probabilité : 1/19.

Deuxième cas de figure : je n'ai pas de paire lorsque je tire la deuxième chaussure, mais j'ai une paire lorsque je tire la troisième chaussure et on se fiche de savoir ce qui se passe après. Probabilité : 18/19 * 2/18 = 2/19.

Troisième cas de figure : je n'ai pas de paire lorsque je tire la deuxième chaussure, ni lorsque je tire la troisième chaussure, mais j'ai enfin une paire lorsque je tire la quatrième chaussure. Probabilité : 18/19 * 16/18 * 3/17 = 48/323.

Comme les trois cas sont bien disjoints (on peut aussi dire incompatible, c'est pareil), et comme tirer une paire correspond bien à exactement l'une des trois situations, il ne reste plus qu'à faire la somme de ces quantités pour obtenir la probabilité recherchée.
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Re: Probabilités - exercices

Message par clairebois le Dim 12 Sep - 11:07

Merci bcp Jaybe, j'ai enfin compris mon erreur : je m'entêtais à vouloir prendre en compte 1/20 du premier tirage (donc finalement mon raisonnement était erroné)
Rolling Eyes

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Dim 12 Sep - 14:29

Pour celles et ceux que ça intéresse, voici un exercice assez difficile connu sous le nom de "paradoxe du faux positif".

On considère une population constituée d'un million d'individus. Une maladie apparaît et touche exactement une personne sur dix mille. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test qui est censé permettre à toute personne si elle est atteinte ou non par cette nouvelle maladie. La fiabilité de ce test est de 99% (cela signifie que pour 100 personnes qui passent ce test, pour 99 d'entre elles le test leur donne leur véritable statut malade/sain et pour 1 personne le résultat du test est contraire à son véritable état).

1) Calculer le nombre de personnes réellement malades et le nombre de personnes réellement saines.

2) Calculer le nombre de personnes réellement malades qui sont déclarées malades par le test, le nombre de personnes réellement malades qui sont déclarées saines par le test, le nombre de personnes saines qui sont déclarées malades par le test et le nombre de personnes saines qui sont déclarées saines.

3) Parmi toutes les personnes déclarées malades par le test, calculer la proportion de celles qui sont réellement malades et la proportion de celles qui sont saines. Que peut-on en conclure sur l'utilité du test ?

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Dim 12 Sep - 16:13

Merci pour cet exo.
Alors, j'essaie :

1) Nb de pers. réellement malades : 1 000 000 x 1/ 10 000 = 100 personnes malades
Nb de personnes réellement saines : 1 000 000 x 9 999/10 000 = 999 900 personnes saines

2)Nb de pers. réellement malades déclarées malades par le test : 100 x 99/100 = 99 personnes
Nb de pers. réellement malades déclarées saines par le test : 100 x 1/100 = 1 personne
Nb de pers. réellement saines déclarées malades par le test : 999 900 x 1/100 = 9 999 personnes
Nb de pers. réellement saines déclarées saines par le test : 999 900 x 99/100 = 989 901 personnes

3) Nb de personnes déclarées malades par le test : 99 + 9 999 = 10 098 personnes
proportion de personnes réellement malades parmi les personnes déclarées malades : 99/ 10 098 = 1/102
proportion de personnes réellement saines parmi les personnes déclarées malades : 9 999/10 098 = 101/102

Pour 102 personnes personnes qui sont déclarés malades par le test, suelement 1 personne est réellement malade.

ça me parait un peu bizarre comme réponse scratch mais bon ...

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Dim 12 Sep - 17:19

Bravo ! La réponse semble effectivement contre-intuitive, d'où le nom de paradoxe. Pour qu'un test soit effectif, il faut qu'une grande proportion d'individus soient affectés. Cet exemple illustre le fait qu'un test avec une fiabilité pourtant importante est complètement inefficace s'il doit repérer une affection ne touchant qu'une toute petite partie de la population.

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Dim 12 Sep - 17:21

jaybe a écrit:Bravo ! La réponse semble effectivement contre-intuitive, d'où le nom de paradoxe. Pour qu'un test soit effectif, il faut qu'une grande proportion d'individus soient affectés. Cet exemple illustre le fait qu'un test avec une fiabilité pourtant importante est complètement inefficace s'il doit repérer une affection ne touchant qu'une toute petite partie de la population.

Merci d'avoir répondu aussi vite .
Ah cool, je suis contente de moi car je suis pas très forte en proba. J'avoue que j'ai un peu galéré et mis du temps à répondre à la 3e question mais en réfléchissant j'ai tout de même réussi.

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 23 Oct - 9:52

Bonjour, 

voici un exercice de proba qui me pose problème et même avec la correction de notre prof ... pas moyen de comprendre scratch  je vous mets l'exercice + la correction, et plus bas ce qui coince dans ma petite tête  

On lance une pièce équilibrée plusieurs fois de suite. Quel doit être le minimum de lancers à effectuer pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois "Pile" soit supérieure à 0,99?


Correction:






donc ce qui me pose problème c'est le 2^n : pour moi il y a 2 possibilités à chaque lancers et donc si il y a n lancers il y a 2xn possibilités scratch ... et la suite je ne comprends rien de chez rien pale  Help please  Merci !

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Mer 23 Oct - 22:28

Si tu prends 3 lancers, tu peux faire :
PPP ou PPF ou PFF ou PFP ou FPP ou FPF ou FFP ou FFF
Il y a 8 possibilités ( 2^3) et non pas 6 (2x3)

Pour ce qui est du "au moins un" ; si tu te fixes une liste de chose à faire (exemple : la vaisselle, l'aspirateur, les courses,..) et que tu te dis j'en fais au moins une et je sors boire un verre. Le seul cas où tu ne sors pas c'est si tu ne fait rien. Le contraire de "au moins un" est "zéro". Don si A est l’événement "obtenir au moins une fois pile", le contraire c'est obtenir c'est "obtenir zéro fois pile" et la probabilité contraire est égale à un moins la probabilité.

Je ne sais pas si j'ai été très claire scratch


Dernière édition par nininie le Jeu 24 Oct - 12:17, édité 1 fois

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Jeu 24 Oct - 10:05

Je vais essayer d'expliquer à ma manière même si nininie a bien expliqué pour moi.

Je vais reprendre l'exemple des 3 lancers de nininie.
Au premier lancer, tu as 2 possibilités : soit P (pile) soit F (face).
Si au premier lancer tu as eu P, au deuxième tu as 2 possibilités soit P soit F.
Si au premier lancer tu as eu F, au deuxième tu as 2 possibilités soit P soit F.
Tu as donc 2 possibilités (P ou F) au deuxième lancer pour chaque possibilité du premier lancer (P ou F). Tu as donc 2*2 (4)possibilités de combinaisons.
Au troisième lancer, tu as aussi 2 possibilités soit P ou F pour chaque combinaison possible du 1er et 2ème lancer donc tu as 2*2*2 ou 2^3 possibilités de combinaisons en tout.
Tu as donc 2^le nombre de lancer combinaisons possibles.

Quand on te dit, au moins un, ça veut dire que l'on veut que dans les combinaisons possibles,le P ici apparaît une fois ou plus. 
Sauf que tu ne connais pas le nombre de lancer et ce serait fastidieux de vouloir tenter toutes les combinaisons possibles à chaque fois pour voir celle où P apparaît une fois ou plus. Si on veut les combinaisons où P apparaît 1 fois ou plus, on ne veut pas des combinaisons faites que de F.
Ainsi on va calculer l'inverse : tu dois savoir que l'inverse d'un nombre est 1/ce nombre.
Ainsi l'inverse de 3 c'est 1/3. En fait, le produit d'un nombre et son inverse est égal à 1. 3*1/3=1.

Prenons maintenant notre sujet : 2^n (ici n c'est le nombre de lancer) qui représente le nombre de combinaisons où il y a au moins 1 P. L'inverse (où il n'y a que des F) est donc 1/2^n
On veut le soustraire à toutes les combinaisons possibles : 2^n/2^n donc 1.
Alors on fait 1-1/2^n. c'est ce résultat qui doit être égal à au moins 0.99.
Le corrigé procède par tâtonnement.
Il essaye d'abord 1/2^6 donc il tente pour 6 lancers. Et on voit que ce n'est pas assez mais pas loin.
Alors on tente avec le 1/2^7 c'est à dire 7 lancers et là on trouve 0.992 un peu près donc c'est bon car 0.992 est supérieur à 0.99. Ici au moins voulait dire égal ou supérieur.
Il faut donc 7 lancers pour avoir la probabilité d'avoir au moins une fois pile qui soit égal à au moins 0.992.

Voilà j'ai tenté d'être claire, tu me diras ce que tu en penses.

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Re: Probabilités - exercices

Message par Invité le Sam 16 Nov - 14:11

hum merci pour votre réponse, je ne l'avais pas vue !!!!! du coup je reprends mon exo de maths ce week  et je vous répondrai sur la clarté de votre explication :) 

En tout cas merci bcp !!!  

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