Problème de dénombrement

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Problème de dénombrement

Message par Invité le Mer 18 Sep - 12:20

Coucou les crpe-iens !
Je fais appel à vos connaissances en maths. 
Je suis entrain de bloquer sur un exercice, j'ai regardé la correction mais je ne comprends pas la logique derrière. 
" />



" Pour passer au troisième niveau 2 x 2 = 4 possibilités 
Pour passer au quatrième niveau, 2 x 2 x 2 = 8 possibilités 
Pour atteindre le cinquième niveau 6 nouveaux chemins possibles, soit en tout 14 possibilités 
Pour atteindre le sixième niveau 4 nouveaux chemins possibles, soit en tout 18 possibilités 
Pour atteindre le point Q, au dernier niveau, 2 nouveaux chemins possibles, soit 20 possibilités en tout. "
Je pense que si quelqu'un m'explique avec d'autres mots ça ira mieux. Merci d'avance  


Dernière édition par analuisa le Mer 18 Sep - 14:13, édité 1 fois
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Re: Problème de dénombrement

Message par Ceeliinee le Mer 18 Sep - 12:25

Que ne comprends tu pas? La consigne ou la réponse?

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Re: Problème de dénombrement

Message par Invité le Mer 18 Sep - 14:12

c'est la réponse que je ne comprends pas ... 

" Pour passer au troisième niveau 2 x 2 = 4 possibilités 
Pour passer au quatrième niveau, 2 x 2 x 2 = 8 possibilités 
Pour atteindre le cinquième niveau 6 nouveaux chemins possibles, soit en tout 14 possibilités 
Pour atteindre le sixième niveau 4 nouveaux chemins possibles, soit en tout 18 possibilités 
Pour atteindre le point Q, au dernier niveau, 2 nouveaux chemins possibles, soit 20 possibilités en tout. "
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Ceeliinee
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Re: Problème de dénombrement

Message par Ceeliinee le Mer 18 Sep - 14:29

Tu pars de P, tu peux aller soit à gauche soit à droite donc deux possibilités.
Puis chaque chemin offre deux nouvelles possibilités donc 2 x 2
Puis de nouveau deux possibilités donc 2 x 2 x 2 donc 8 possibilités.
Ensuite, au niveau suivant tu n'as à chaque intersection qu'un chemin possible et 6 intersections donc tu ajoutes 6 possibilités
Puis ensuite 4 et à la fin 2 soit en tout 20 possibilités.

C'est statistique lol.

Pour t'aider tu peux dessiner les chemins, la c'est rapide y a pas beaucoup de possibilités. Par contre avec ces pb la c'est bien de vite piger le truc pour pas perdre trop de temps

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Re: Problème de dénombrement

Message par Invité le Mer 18 Sep - 21:42

merci celine!

En fait je regardais les "points" , par exemple au quatrième niveau, au milieu, il y a encore deux "choix" ,donc je ne comprenais pas pourquoi on ne multipliait pas ... 
Bref, je pense avoir compris ! Wink

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Re: Problème de dénombrement

Message par Invité le Jeu 19 Sep - 14:30

Si tu t'embrouilles trop dans ce genre d'exercice tu peux aussi simplement compter pour chaque niveau le nombre de chemins (tu peux les compter 2 par 2, avec la forme ^ ), et additionner, là ça ferait 2 + (2+2) + (2+2+2) + (2+2) + 2 + 2 (forme en V)... C'est ce que j'apprenais à la fille à qui je donnais des cours de soutien en maths, parfois avant de t'embrouiller si tu n'es pas à l'aise avec le langage mathématique et les formules, prend le temps de bien visualiser! Wink
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Jeu 14 Aoû - 11:52

Bonjour !

Je galère pas mal en dénombrement, avez vous des méthodes particulières ?

J'ai un souci notamment avec l'exercice 1 de la partie pour s'exercer ici, sur les caractères braille : http://www.parimaths.com/telechargements/corriges/pdf/S10C-Problemes-de-Denombrement.pdf

Le corrigé me dit 15 caractères possibles pour la question 1 et pour la question 2 mais je ne comprends pas pourquoi, surtout pour la question 2 !
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farctus
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Re: Problème de dénombrement

Message par farctus le Jeu 14 Aoû - 12:44

Alorsje vais essayer de t expliquer....

Pour le premker point tu as 6 possibilités.
Pour placer le 2eme point il ne te reste que 5 possibilités car le premier point prend deja une place.
D où le 6×5

Sauf que
Si tu mets le premier point en haut à gauche et le deuxième point en haut à droite =ligne du haut complète avec deux points
Mais si tu mets le premier point en haut à droite et le deuxième point en haut à gauche= ligne du haut complète avec les deux points
Donc mettre un point en ht à droite puis en ht à gauche donne le même résultat que le premier en haut à gauche puis en ht à droite. Et c est pour ça que l on divise (6×5) par 2

J espère avoir été clair dans mes explications

Je regarde pour l autre et te dis si je peux
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farctus
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Re: Problème de dénombrement

Message par farctus le Jeu 14 Aoû - 12:54

Et pour la deuxieme reponse:

Pour le coup c est plus de la logique que du denombrement
J essaye de m expliquer

Lorsque tu mets deux points sur la grille, il te reste bien 4 noeuds de libres..... et donc à chaque possibilité de deux points tu as 4 noeuds de libres . C est pour ça que dans la correction il y a marqué qu on associe à chaque possibilité de deux points il y a une possibilité de 4 d où le fait qu il y a le même nombre de solutions possibles soit 15

J espère avoir été clair. Si ce n est pas le cas dis le moi

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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Mar 19 Aoû - 9:36

Merci beaucoup farctus, ça me paraît plus clair !
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Re: Problème de dénombrement

Message par farctus le Mar 19 Aoû - 9:52

De rien Wink 
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Ven 22 Aoû - 21:40

Un autre petit souci en dénombrement, pour cet exercice : "Combien y'a-t-il de nombres dont le quotient dans la division par 1259 est 6 et dont le reste dans la division par 50 est 17 ?"

Je comprends à peu près la correction, mais je ne sais pas l'expliquer et donc je ne suis pas sûre de savoir refaire un exercice du même genre. Peut-être pourriez vous m'aider ?

Merci !
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Lun 25 Aoû - 18:04

Quelqu'un peut-il m'aider ? Merciiiii !
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Re: Problème de dénombrement

Message par Iroise le Lun 25 Aoû - 18:49

Je pense que quelqu'un va venir t'aider. Le truc c'est qu'on est pas mal à avoir déjà fait les exos de dénombrement, du coup on n'a pas toujours le temps de revenir dessus pour le moment (enfin je parle pour moi là, je ne m'en sors pas avec cette semaine). Mais je te promets que dès que j'ai le temps je jetterai un coup d'oeil. Désolée.
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Lun 25 Aoû - 20:15

Merci beaucoup, je comprends tout à fait !
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Re: Problème de dénombrement

Message par farctus le Lun 25 Aoû - 21:34

Alors, j ai tj pas fais les denombrements mais je vais tenter une explication.
Il faut tt d abord chercher tous les nombres dont le quotient dans la division par 1259 est 6
Pour cela 1259×6 (dans ce cas on suppose qu il n y a pas de reste)=7554
Ensuite trouver jusqu'à quel nombre le quotient reste 6, donc 1259×7-1=8812
Donc tous les nombres entre 7554 et 8812 ont une division dont le quotient par 1259 est 6

Ensuite faut chercher tous les nombres compris entre 7554 et 8812 qui ont 17 comme reste dans la division par 50
Le 1er nb est 7567 ( 7550 +17 .en fait 7550÷50 donne une division avec 0 comme reste donc pour avoir un reste =à 17 faut simplement rajouter 17 soit 7550+17)

Ensuite à partir de ce nombre 7567, tous les nb auquel on ajoute 50 seront bien divisible par 50 avec 17 comme reste
( 7567, 7617, 7667, 7717,...., 8717)

Il y a donc 25 nombres qui correspendent à l énoncé.



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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Mer 27 Aoû - 11:29

Merci beaucoup farctus, dis donc, tu es douée en dénombrement !

Un autre exo qui me pose problème :
Les multiples de 21 dont l'écriture nécessite deux chiffres sont 21, 42, 63, 84. Pour écrire cette liste de multiples il faut 8 caractères d'imprimerie. Combien en faut-il pour écrire la liste des multiples de 21 dont l'écriture nécessité 3 chiffres ? Même question avec 5 chiffres ?

J'ai utilisé cette méthode : calculer l'écart entre le plus grand nombre à 3 chiffres et le plus grand nombre à 2 chiffres, soit 999-99 = 900. J'ai ensuite divisé 900 par 21 pour trouver le nombre de multiples de 21. J'en trouve 42. Cependant, dans le corrigé, on cherche d'abord le plus petit multiple de 21 avec une écriture à 3 chiffres (105, et d'ailleurs je ne comprends pas comment le trouver !). Ensuite c'est l'écart entre 999 et 105 qui est calculé, soit 894. Et la division euclidienne de 894 par 21 donne 42, soit au total 42+1 (pour le 105) multiples de 21 à 3 chiffres.

Pourquoi faut-il d'abord trouver le plus petit multiple de 21 à 3 chiffres ?
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Re: Problème de dénombrement

Message par farctus le Mer 27 Aoû - 12:40

Alors pour trouver 105 c est tout bête. 84 est le plus gd multiple de 21 à deux caractères. Il suffit d ajouter 21 à 84 pour trouver le plus petit multiple de 21 à 3 caractères (84+21=105)

Après on fait bien 999-105 pour trouver combien y a de nb à 3 caractères donc 999-105=894
Pour trouver combien sont multiples de 21 on divise 894 par 21=42
A 42 on ajoute 1( pour le 105)

Idem pour 5 caractères:
Plus petit multiple de 21 à 5 caractères est 10017. Donc 99999÷10017=89982
89982÷21=4284 et on ajoute 1= 4285

Pour trouver les plus petit multiple de 21 àc5 caractères j ai cherché manuellement, je ne sais pas comment on fait pour trouver de façon rapide.


Peux tu me donner la correction du livre que j essaye de comprendre...

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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Mer 27 Aoû - 13:30

Justement dans la correction de la deuxième partie, ils ne cherchent pas le plus petit multiple de 21 à 5 chiffres, ils font directement la différence entre 99999 et 9999, c'est pour cela que je ne comprends pas l'intérêt de le chercher ! Mais pourtant, on trouve quand même une différence de un nombre en ne cherchant pas ce plus petit multiple dans la partie 1 !
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Sam 30 Aoû - 11:58

Tu as réussi à comprendre la correction farctus ?
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Re: Problème de dénombrement

Message par farctus le Sam 30 Aoû - 12:03

Dsl pas eu le tps de m y lettre je regarde ce week end
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Lun 1 Sep - 10:31

Pas de problème merci :)

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Re: Problème de dénombrement

Message par Invité le Jeu 9 Oct - 16:31

Petit ennui pour le dénombrement des chemins, la réponse 20 et correcte, mais les raisonnements sont faux.
L'erreur porte en particulier sur le fait que les chemins vont tous du départ à l'arrivée, donc compter deux chemins au premier niveau plus quatre au niveau suivant …n'a pas de sens.
Par ailleurs, la méthode consistant à dire qu'il y a d'abord deux chemins puis 4 puis 8 est correcte tant que le dessin s'élargit : pour chaque chemin arrivant à un étage il y en a deux qui continuent jusqu'à l'étage en dessous, mais ça ne marche plus ensuite puisqu'il n'y a que certains chemins qui se ramifient… pas tous.
Ajouter 6 à l'étape suivante revient à compter les petits segments, pas les chemins complets, ça ne va pas.
Un raisonnement possible s'appuie sur le schéma suivant.

                        A
                    1        1
                1      2        1
            1      3       3       1
                4      6        4    
                   10     10   
                       20    
Pour faciliter l'explication, je nomme les nœuds ainsi :
                        A
                    B       C
                D      E       F
            G      H       I      J
                K      L       M    
                    N      O   
                        P    


Il manque les lignes, mais le nombre écrit à chaque nœud est le nombre de façons d'aller du départ à ce nœud.
On peut facilement vérifier qu'il n'y a qu'un chemin allant du départ à chacun des points marqués 1.

La valeur 2 est obtenue ainsi : on peut atteindre le point E en prolongeant vers la droite l'unique chemin qui mène à B ou en prolongeant vers la gauche l'unique chemin qui mène à C (1 + 1 = 2 !!!!!).

La valeur 3 qui signifie qu'il y a 3 chemins menant à H s'obtient ainsi : on peut arriver à H en prolongeant vers la droite l'unique chemin qui mène à D ou en prolongeant vers la gauche l'un des deux chemins qui mènent à E : 
1 + 2 = 3

On procède ainsi de proche en proche, et la valeur 20 finale est obtenue en disant que l'on peut prolonger chacun des 10 chemins menant à N ou chacun des 10 chemins menant à O…………… 20 possibilités.

Ceci montre au passage que le raisonnement disant qu'il y a 18 chemins menant à l'avant dernier niveau est faux, il y en a 20, autant qu'au dernier niveau. (on compte des chemins entiers, et non des petits segments).


Variante :

On peut commencer de la même façon, et s'arrêter à la ligne du milieu (GHIJ) et raisonner ainsi.
Les chemins qui vont de A à P passent forcément par un des quatre points GHIJ, et par un seul, nous allons donc calculer combien de chemins passent par G (un seul, on suit toujours le bord gauche), par H, par I puis par J et additionner le tout.
Pour H, il y a trois façons d'aller de A à H, mais comme le dessin est gentiment symétrique, il y a aussi trois façons d'aller de H à P, ce qui nous laisse 3 x 3 = 9 façons d'aller de A à P en passant par H.
Idem pour I, le nombre de chemins de A à P est donc 1 + 9 + 9 + 1 = 20 
Alléluia !!! (laïque tout de même l'Alléluia).


Pour finir une autre solution, complètement différente :
un chemin est une suite de 6 petites étapes, dont trois vont vers la gauche et trois vers la droite (sinon, on ne se trouve pas à la fin à la verticale du point de départ).
Si on représente chacune de ces étapes par une lettre g ou d, un chemin est représenté par un "mot" constitué de six lettres g ou d. on peut les écrire tous dans l'ordre alphabétique, ça permet de ne pas en oublier, puis les compter.
dddggg
ddgdgg
ddggdg
ddgggd
dgddgg
dgdgdg
dgdggd
dggddg
dggdgd
dgggdd
J'ai fini la liste des chemins qui commencent en partant vers la droite, il y en a 10. Comme la figure a un bel axe de symétrie vertical, il y a autant de chemins qui commencent en partant vers la gauche et donc 20 chemins en tout.

Conclusion : si vous rencontrez un pb de ce type au crpe, gardez le pour la fin.

PS : contrairement à ce qui est dit dans un autre sujet, la règle générale est que les correcteurs examinent les étapes et pas seulement le résultat final. Un raisonnement correct avec une réponse erronée rapporte toujours une partie des points (sauf évidemment si la question vaut 0,25 pt !). Mais l'inverse est vrai également : une réponse exacte basée sur un résultat faux ne rapporte jamais la totalité des points, et le plus souvent elle ne rapporte rien.
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Re: Problème de dénombrement

Message par Dice59 le Sam 21 Mai - 11:22

Je rencontre un petit problème avec un exercice sur le dénombrement. Je comprends la correction, mais je ne comprends pas pourquoi mon raisonnement est faux...



Il s'agit de l'exercice 3 du scan. Le corrigé est en haut de la deuxième page.

Voici comment j'ai raisonné :

Il y a 16 cases, j'ai donc nommé chaque case de A à P.
J'ai ensuite fait un arbre de choix : 1er jeton 16 cases disponibles, de A à P. 2e jeton, comme on ne peut pas utiliser la ligne ni la colonne déjà utilisée, il reste donc 9 cases possibles. On raisonne de la même façon pour le 3e jeton, donc il reste 4 cases disponibles. Et enfin pour le dernier jeton il ne reste plus qu'une case.
Du coup j'ai fait ce calcul : 16x9x4x1 = 576 possibilités
Je me rends bien compte que c'est énorme, mais je n'arrive pas à comprendre où mon raisonnement est faux !

Merci d'avance !
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Maman92
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Re: Problème de dénombrement

Message par Maman92 le Sam 21 Mai - 11:41

Alors tu as fait une erreur dans ton raisonnement car le premier jeton tu le mets dans la première colonne et là tu as 4 choix possibles.
Puis le deuxième jeton passe dans la 2ème colonne mais il n'y a plus que 3 choix possibles
Pour le 3ème jeton : 2 choix possible
Dernier jeton : 1 choix possible

Soit 4x3x2x1=24

Pour moi il y a 24 choix possibles

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Re: Problème de dénombrement

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