Exercice arithmétique

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Exercice arithmétique

Message par Invité le Sam 23 Nov - 13:49

Bonjour, 

voici un exercice dont la correction me pose problème :

Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.
Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1 500 et 1 600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues ?

correction:
Solution : Soit N le nombre de bouteilles.
N-2 doit être un nombre multiple commun de 3 , de 5 et de 7,
plus grand que 1500 – 2 = 1498,
plus petit que 1600 – 2 = 1598.
Pour que le nombre N-2 soit multiple de 5, il doit se terminer par 0 ou 5. Donc la recherche commence à 1500 et s'arrête à 1595.
Pour qu'un nombre soit multiple de 3, la somme de ses chiffres doit être multiple de 3.
Or 5+1 = 6 (somme du chiffre des unités de mille et du chiffre des centaines) est déjà un multiple de 3. 
Il faut donc que la somme du chiffre des dizaines et du chiffre des unités soit un multiple de 3.
Quand le chiffre des unités est 0 , le chiffre des dizaines peut être 3, 6 ou 9. 
Quand le chiffre des unités est 5, le chiffre des dizaines peut être 1 ou 4.
On trouve donc 1515, 1530, 1545, 1560, 1575, 1590 (on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 15)
Il reste donc à chercher les multiples de 7 parmi les nombres ci-dessus.
Les restes successifs de la division par 7 des nombres ci-dessus sont 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 0 ; 1.
Le seul nombre qui convient est donc 1575
Le nombre de bouteilles est donc 1575 + 2 soit 1577 bouteilles. 

c'est ce 1575 qui me pose problème, pour moi il sort de nul part car on vient de démontrer que :
Quand le chiffre des unités est 0 , le chiffre des dizaines peut être 3, 6 ou 9. 
Quand le chiffre des unités est 5, le chiffre des dizaines peut être 1 ou 4. 
Je comprends qu'il vient du "on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 15" mais je ne vois pas le lien avec la démonstration précédente 

donc aucun 7 au chiffre des dizaines ...

scratch 

merci Wink

[edit] je crois que je viens de voir le problème, cela pourrait provenir que nos profs aient oublié le fait que 5+7=12 donc divisible par 3 
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Antoine
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Re: Exercice arithmétique

Message par Antoine le Sam 23 Nov - 16:13

Il faut que ces nombres cumulent les propriétés des multiples de 5 ( chiffre des unités= 0 ou 5) et de 3 (somme des chiffres = multiple de 3), ce sont donc des multiples de 15; tu t'es un peu embrouillée avec les chiffres des unités qui est soit 0 soit 5, la correction n'est pas forcément expliquée de la manière la plus simple.
Donc entre 1500 et 1600: 1500+15, 1515+15, ...; il manque 1500, dans les possibilités au-dessus d'ailleurs, mais c'est pas grave, puisque un seul nombre est aussi multiple de 7 parmi ceux-ci

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Sam 23 Nov - 17:24

effectivement je n'avais même pas vu qu'il manquait la possibilité 1500
du coup 
- soit on passe par le tâtonnement avec le chiffre des dizaines et des unités 
- soit on part sur le fait que puisqu'il est multiple de 3 et de 5, alors il est multiple de 15 (dans ce cas il faut faire attention car c'est valable pour des nombres premiers mais par forcément pour des nombres qui ne sont pas premiers si je ne me trompe pas )
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Antoine
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Re: Exercice arithmétique

Message par Antoine le Sam 23 Nov - 18:15

Moi j'aurais raisonné avec les multiples de 15, ça fait peu de possibilités.

Les nombres premiers, ça n'a rien à voir, ne t'embrouille pas. Si un nombre est un multiple d'un autre nombre, il n'est pas premier, sauf si les multiples sont 1 et lui même.

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Sam 23 Nov - 18:28

Ok, moi je faisais le lien avec cette remarque de mon cours, mais visiblement j'étais HS alors ^^ 

On peut utiliser ces critères de divisibilité pour obtenir plus rapidement certains résultats. Par exemple :
- Si un nombre est divisible par 2 et par 3 alors il est divisible par 6;
- Si un nombre est divisible par 3 et par 5 alors il est divisible par 15;
- Si un nombre est divisible par 5 et par 9 alors il est divisible par 45.
Ces 3 derniers critères sont vrais car 6, 15 ou 45 sont le produit de deux nombres premiers entre eux (cf 1.)
Mais attention, cela n'est pas toujours vrai : si un nombre est divisible par 4 et 6, il n'est pas divisible par 24. Il suffit de prendre le nombre 12 qui est divisible par 4 et par 6 mais pas par 24.

1. En effet si un nombre b est divisible par 2 et par 3 alors on peut trouver deux nombres entiers n et m tels que b=2xn et b=3xm d'où 2xn=3xm.
Ainsi 2 divise 3xm mais comme 2 ne divise pas 3 alors 2 doit diviser le nombre m.
En conclusion, on peut donc trouver un entier p tel que m=2xp c’est-à-dire que b qui est égal à 3xm s'écrit b=3xm=3x(2xp)=6xp. On en déduit que b est divisible par 6.
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virginie62
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Re: Exercice arithmétique

Message par virginie62 le Sam 23 Nov - 19:29

bonjour

waouhhhhhh c'est le genre de truc qui m'embrouille !!

je vais reflechir aussi tiens...moi et les maths !! 

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Sam 23 Nov - 19:37

je viens de passer mon après midi entière sur l'arithmétique ... c'est pas de la tarte 
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norape
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Re: Exercice arithmétique

Message par norape le Sam 23 Nov - 21:05

Jill a écrit:Ok, moi je faisais le lien avec cette remarque de mon cours, mais visiblement j'étais HS alors ^^ 

On peut utiliser ces critères de divisibilité pour obtenir plus rapidement certains résultats. Par exemple :
- Si un nombre est divisible par 2 et par 3 alors il est divisible par 6;
- Si un nombre est divisible par 3 et par 5 alors il est divisible par 15;
- Si un nombre est divisible par 5 et par 9 alors il est divisible par 45.
Ces 3 derniers critères sont vrais car 6, 15 ou 45 sont le produit de deux nombres premiers entre eux (cf 1.)
Mais attention, cela n'est pas toujours vrai : si un nombre est divisible par 4 et 6, il n'est pas divisible par 24. Il suffit de prendre le nombre 12 qui est divisible par 4 et par 6 mais pas par 24.

1. En effet si un nombre b est divisible par 2 et par 3 alors on peut trouver deux nombres entiers n et m tels que b=2xn et b=3xm d'où 2xn=3xm.
Ainsi 2 divise 3xm mais comme 2 ne divise pas 3 alors 2 doit diviser le nombre m.
En conclusion, on peut donc trouver un entier p tel que m=2xp c’est-à-dire que b qui est égal à 3xm s'écrit b=3xm=3x(2xp)=6xp. On en déduit que b est divisible par 6.
Un nombre divisible par a et divisible par b est aussi divisible par ab si a et b sont premiers entre eux

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Sam 23 Nov - 22:02

c'est quand mm plus simple dit comme ça 
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Re: Exercice arithmétique

Message par virginie62 le Dim 24 Nov - 15:02

bonjour

j'y ai passé un temps et j'ai même pas trouvé !! pale

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Dim 24 Nov - 21:35

hello 
hum trouvé la réponse de l'exercice que j'ai posé ? même avec la correction ?
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clairebois
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Re: Exercice arithmétique

Message par clairebois le Dim 24 Nov - 22:50

Jill a écrit:Bonjour, 

voici un exercice dont la correction me pose problème :

Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.
Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1 500 et 1 600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues ?

correction:
Solution : Soit N le nombre de bouteilles.
N-2 doit être un nombre multiple commun de 3 , de 5 et de 7,
plus grand que 1500 – 2 = 1498,
plus petit que 1600 – 2 = 1598.
Pour que le nombre N-2 soit multiple de 5, il doit se terminer par 0 ou 5. Donc la recherche commence à 1500 et s'arrête à 1595.
Pour qu'un nombre soit multiple de 3, la somme de ses chiffres doit être multiple de 3.
Or 5+1 = 6 (somme du chiffre des unités de mille et du chiffre des centaines) est déjà un multiple de 3. 
Il faut donc que la somme du chiffre des dizaines et du chiffre des unités soit un multiple de 3.
Quand le chiffre des unités est 0 , le chiffre des dizaines peut être 3, 6 ou 9. 
Quand le chiffre des unités est 5, le chiffre des dizaines peut être 1 ou 4.
On trouve donc 1515, 1530, 1545, 1560, 1575, 1590 (on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 15)
Il reste donc à chercher les multiples de 7 parmi les nombres ci-dessus.
Les restes successifs de la division par 7 des nombres ci-dessus sont 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 0 ; 1.
Le seul nombre qui convient est donc 1575
Le nombre de bouteilles est donc 1575 + 2 soit 1577 bouteilles. 

c'est ce 1575 qui me pose problème, pour moi il sort de nul part car on vient de démontrer que :
Quand le chiffre des unités est 0 , le chiffre des dizaines peut être 3, 6 ou 9. 
Quand le chiffre des unités est 5, le chiffre des dizaines peut être 1 ou 4. 
Je comprends qu'il vient du "on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 15" mais je ne vois pas le lien avec la démonstration précédente 

donc aucun 7 au chiffre des dizaines ...

scratch 

merci Wink

[edit] je crois que je viens de voir le problème, cela pourrait provenir que nos profs aient oublié le fait que 5+7=12 donc divisible par 3 
Ils ont oublié de mettre le 7. C'est en fait le chiffre des dizaines peut-être 1, 4 ou 7 car la somme des chiffres du nombre ainsi obtenue est un multiple de 3.

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Lun 25 Nov - 10:05

oui j'ai envoyé un mail à ma prof qui m'a confirmé qu'il y avait parfois des coquilles dans les corrections et comme disait Antoine, ils ont également oublié 1500 dans les propositions ...
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virginie62
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Re: Exercice arithmétique

Message par virginie62 le Lun 25 Nov - 10:42

Jill a écrit:hello 
hum trouvé la réponse de l'exercice que j'ai posé ? même avec la correction ?
bonjour

oui ...cas désesperé...

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Lun 25 Nov - 10:47

si tu veux tu peux me dire où tu bloques :) on peut peut-être t'aider Wink 
sinon je peux mettre d'autres exercices qui jouent sur les critères de divisibilité, pour t'entrainer d'abord dessus

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Jeu 28 Nov - 22:48

voilà un autre exercice qui me pose problème :



Ba oui tient pourquoi on n'a pas besoin de les barrer ? scratch 

Ma première réponse serait la suivante : parce qu'ils sont également les multiples des chiffres de 1 à 11 par 11 (cad : 1x11, 2x11, 3x11 ...) , donc déjà barrés ? et idem pour 13, 17 ...
Mais étant donné que 11 13 et 17 sont des nombres premiers je pense qu'il doit y avoir un rapport avec ça ...

vouala 
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anna.241
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Re: Exercice arithmétique

Message par anna.241 le Ven 29 Nov - 0:28

les nombres 11,13 et 17 sont des nombres premiers càd un entier naturel positif qui ne possèdent que 2 diviseurs 1 et lui-même. Ils ne possèdent pas de multiples.
11 n'est divisible que par 1 et 11 ...13 par 1 et 13...etc

J'aurai répondu ça
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Sarayane
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Re: Exercice arithmétique

Message par Sarayane le Ven 29 Nov - 7:40

Parce qu'ils ne sont pas multiples de 2,3, ou 7, les nombres premiers que l'on trouve avant eux ... Par conséquent, ils sont eux meme des nombres premiers...

Ils faut faire attention à la formulation dans vos réponses:
Jill, tu écris: "ils sont également les multiples des chiffres de 1 à 11 par 11 (cad : 1x11, 2x11, 3x11 ...)" mais non, 11 n'est pas un multiple de 1, 2 ou n'importe quel nombre compris entre 1 et 10 car il n'est divisible par aucun d'entre eux .... Par contre, les résultats des produits que tu cites (1*11, 2*11, 3*11 ...) sont des multiples de 11 (et non l'inverse , 11 n'est pas leur multiple, mais leur diviseur)

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Ven 29 Nov - 9:31

je me suis peut être mal exprimée :) je voulais bien parler des multiples de 11, 13, 17.
D'ailleurs ce sont d'eux dont on parle dans la question et pas de 11 en lui même (Pourquoi n'a t-on pas besoin de barrer les multiples de 11, 13 et 17) . Il me semble que dans vos réponses vous ne parlez que de 11, 13,17 et non pas de leurs multiples 

ou alors j'ai rien compris 
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Sarayane
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Re: Exercice arithmétique

Message par Sarayane le Ven 29 Nov - 9:42

Je crois que je me suis embrouilé avec ta réponse et celle d'anna lol
Les multiples de 11 sont 22, egalement multiple de 2
                                 33, egalement multiple de 3
                                 44, egalement multiple de 2
                                 55, egalement multiple de 5
                                 66, egalement multiple de 2
                                 77, egalement multiple de 7
                                 88, egalement multiple de 2
                                 99, egalement multiple de 3
Ils ont donc tous déja été barrés auparavant!

Les multiples de 13 sont 26, egalement multiple de 2
                                 39, egalement multiple de 3
                                 52, egalement multiple de 2
                                 65, egalement multiple de 5
                                 78, egalement multiple de 2
                                 91, egalement multiple de 7
Ils ont egalement deja tous été barrés!

Les multiples de 17 sont 34, egalement multiple de 2
                                 51, egalement multiple de 3
                                 68, egalement multiple de 2
                                 85, egalement multiple de 5
Ils ont donc egalement tous été barrés !

Arrivés a 11, les nombres qui ne sont pas deja barrés sont donc tous des nombres premiers....

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Ven 29 Nov - 14:25

donc c'est ce à quoi je pensais mais mieux formulé Very Happy
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Sarayane
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Re: Exercice arithmétique

Message par Sarayane le Ven 29 Nov - 14:33

Je m'entraine a mieux formulé, ca m'a fait perdre des points sur mon premier devoir de maths...On m'a dit de toujours tout écrire,meme si ca me semblait inutile car trop evident ...
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Re: Exercice arithmétique

Message par nininie le Ven 29 Nov - 18:30

Il me semble qu'il faut aussi prendre en compte le fait que racine de 100 = 10 et donc il n'est pas utile de barrer les multiples des nombres premiers au dessus de 10
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Re: Exercice arithmétique

Message par Sarayane le Ven 29 Nov - 18:34

et ca fait pus "scientifique" que ma méthode, ta répnse, Ninnie....

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Re: Exercice arithmétique

Message par Invité le Ven 29 Nov - 19:29

effectivement je pense que la réponse de Nininie est top 

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