Exercices

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Re: Exercices

Message par Tounga le Sam 26 Sep - 14:15

Exo proposé par Elvenn dans le blabla :
"une courroie entraine deux poulies consécutives. Quel diamètre faut-il
donner à la seconde poulie pour qu'elle fasse 150 tours à la minute, si
la première poulie d'un diamètre de 60 cm fait 80 tours à la minute?"
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Message par Tounga le Jeu 1 Oct - 11:30

On considère l'ensemble E={0,1,2,3,4} et la loi @ qui associe, à tout couple (a;b) de E x E, le reste de la division euclidienne de a x b par 5.

a) trouver l'élément neutre pour cette loi
b) quels sont les éléments qui disposent d'une symétrie.


@
0
1
2
3
4
0
0@0 = 0
0@1 = 0
0@2 = 0
0@3 = 0
0@4 = 0
1
1@0 = 01@1 = 1
1@2 = 2
1@3 = 3
1@4 = 4
2
2@0 = 02@1 = 2
2@2 = 4
2@3 = 1
2@4 = 3
3
3@0 = 03@1 = 3
3@2 = 1
3@3 = 4
3@4 = 2
4
4@0 = 04@1 = 4
4@2 = 3
4@3 = 2
4@4 = 1
a) d'après ce tableau, l'élément neutre de la loi @ est 1.
b) 1 admet pour symétrique 1 par la loi @
2 admet pour symétrique 3 par la loi @
3 admet pour symétrique 2 par la loi @
4 admet pour symétrique 4 par la loi @

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Re: Exercices

Message par Invité le Lun 5 Oct - 22:29

Bon je vous met l'exo que je dois faire pour vendredi!!!
Y a des trucs ou je trouve que je suis compliquée alors j'attends vos solutions et je verrai la correction...

Trouvez tous les entiers n à quatre chiffres tels que:


  • le nombre des centaines de n est un nombre premier inferieur à 20
  • le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24
  • le reste de la division de n par 5 est 1
A vous de jouer!!
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Re: Exercices

Message par Tounga le Mar 6 Oct - 11:39

Trouvez tous les entiers n à quatre chiffres tels que:
--> Soit mcdu un nombre à 4 chiffres.


  • le nombre des centaines de n est un nombre premier inférieur à 20 --> mc est égale soit à 11, 13, 17 ou 19

  • le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24 --> mcdu divisé par 100 est égale à mc * 100 + du donc du est un multiple de 24 c'est à dire : 24, 48, 72 ou 96

  • le reste de la division de n par 5 est 1 --> donc mcdu - 1 est multiple de 5. Sachant qu'un nombre multiple de 5 se termine soit par 0 soit par 5. On en déduit que u peut prendre comme valeur 1 ou 6.
Donc, on déduit des deux derniers points que du est égale à 96.
Pour mc, il y a quatre possibilités.

Les nombres entiers à quatre chiffres recherchés sont :
1196, 1396, 1796 et 1996
.

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Re: Exercices

Message par Invité le Mar 6 Oct - 12:11

Je regarde pa ta réponse, enfin si j'ai vu 1 iere ligne et je suis partie comme toi!! c'est déjà ça!!!
Quand j'aurai fait celui là j'en mettrai un autre ! La prof a des exos simpas non???
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Re: Exercices

Message par Circé le Mar 6 Oct - 12:30

Tout comme tounga pour ton exo moumoune !
Oui c'est pas mal les exos comme ça je pense et puis c'est typique concours je pense...

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Message par Invité le Mar 6 Oct - 12:40

Y a pas de problème, je vous mettrai les problèmes au fure et à mesure et la correction en fin de semaine (peut être faudra faire un post différent pour pas tout mélanger!! enfin on verra!!)
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Re: Exercices

Message par Circé le Mar 6 Oct - 13:30

qd je relis mon message, on peut voir que je pense beaucoup

Ce serait super sympa moumoune ! mais faut pas que ça te prenne trop de temps non plus ! dj que tu es à 100 à l'heure !!!

Tiens ça me fait penser, je vais voir si des réponses coté sciences Wink

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Re: Exercices

Message par Invité le Mar 6 Oct - 14:05

T'inquiète: les écrire, les faire et mettre la correction me les fait travailler encore et encore donc rien que du bon!!

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Re: Exercices

Message par Invité le Mar 6 Oct - 21:43

Celui là est un peu long à écrire:
Batien joue avec des cubes à empiler les uns sur les autres.Au début, il place 2 cubes l'un contre l'autre, puis place un cube à cheval sur les 2 cubes du bas; Jugeant a structure ainsi obtenue jolie, il décide d'ajouter systématiquement un cube à cheval sur les 2 autres.
Ainsi, en utilisant 3 cubes au sol alignés les uns contre les autres, il peut placer 2 cubes au dessus et un cube sur le 3ième étage. Il obtient une pyramide de 6 cubes et 3 étages.
Avec 4, et 6 cubes au sol, quel va être le nombre d'étages de la pyramide et le nombre de cubes utilisés?
Bastien décide d'utiliser tous les cubes qu'il possède pour faire la plus grande pyramide possible. Au total il dispose de 758 cubes. Quel est le nombre d'étages de la pyramide obtenue? Combien de cubes sont inutilisés?
Bastien invite Sophie à jouer avec lui. Ensemble , ils veulent réunir assez de cubes pour avoir une pyramides de 58 étages. Combien de cubes doit apporter Sophie?

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Re: Exercices

Message par Invité le Sam 10 Oct - 14:57

Bon vous avez pas l'air très inspirées les filles!!!!!
Je vous met la correction du 1ier. Rédigée tout comme il faut pour le concours. A noter que les exos que je vous met pour le moment sont à apprendre par coeur (ou du moins à parfaitement comprendre) parce que en numération on tombera systématiquement sur un exo de ce type!

Trouvez tous les entiers n à quatre chiffres tels que:


  • le nombre des centaines de n est un nombre premier inferieur à 20
  • le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24
  • le reste de la division de n par 5 est 1
Correction:
Soit N=mcdu (mcdu doit être surligné) avec {c;d;u}€[0;9] et m€[1;9]


  • On sait que: mc<20
donc on cherche les nombres premiers compris entre 10 et 20.
Un nombre est premier si et seulement si il possède deux diviseurs distincts: un et lui même.
Donc mc={11;13;17;19}


  • On sait que: N=100mc+du
avec du multiple de 24 et inferieur à 100:
0x24=0
1x24=24
2x24=48
3x24=72
4x24=96
Donc du={00;24;48;72;96}


  • On sait que: N=10mcd+u
N=5(2mcd)+u
- sii u<5, u est le reste que la division euclidienne de N par 5, donc d'après l'énoncé u=1
-si u>5, pour que le reste de la division euclidienne de N par 5 soit égale à 1 , il faut que u soit égale à 5+1=6
Donc u={1;6}
D'après la réponse précédente du=96

Conclusion: Les entiers N à 4 chiffres recherchés sont: 1196;1396;1796;1996.


Voilou pour le premier! La rédaction est hyper importante, la clarté de la copie montre la clarté de la démonstration dans l'esprit du candidat.

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Re: Exercices

Message par Invité le Sam 10 Oct - 15:03

Bon comme les cubes de Bastien ne vous inspirent pas je vous met un autre exercice;

a) Benjamin possède 45 billes de plus que Camille. Chaque enfant peut disposer parfaitement toutes les billes en "carrés pleins". Quelles peuvent etres les sommes totales des billes que possèdent, à eux deux, Benjamin et Camille?
b) Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3;5ou 7 , il en reste toujours 2. Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1500et 1600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues?


Au boulot!
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Re: Exercices

Message par Tounga le Sam 10 Oct - 18:17

Sisi Moumoune les cubes m'ont inspiré mais je n'ai pas trouvé de méthode algébrique pour résoudre cet exercice donc j'attends avec impatience la correction

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Re: Exercices

Message par Invité le Sam 10 Oct - 18:21

tounga a écrit:Sisi Moumoune les cubes m'ont inspiré mais je n'ai pas trouvé de méthode algébrique pour résoudre cet exercice donc j'attends avec impatience la correction


Ben je suis désolée je ne l'ai pas encore
et comme je ne suis absolument pas sure de moi j'attends la semaine prochaine pour vous la mettre!!
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Re: Exercices

Message par Tounga le Sam 10 Oct - 18:30

On peut comparer nos résultats si tu veux !

Batien joue avec des cubes à empiler les uns sur les autres.Au début, il place 2 cubes l'un contre l'autre, puis place un cube à cheval sur les 2 cubes du bas; Jugeant a structure ainsi obtenue jolie, il décide d'ajouter systématiquement un cube à cheval sur les 2 autres.
Ainsi, en utilisant 3 cubes au sol alignés les uns contre les autres, il peut placer 2 cubes au dessus et un cube sur le 3ième étage. Il obtient une pyramide de 6 cubes et 3 étages.
Avec 4, et 6 cubes au sol, quel va être le nombre d'étages de la pyramide et le nombre de cubes utilisés?
Avec 4 cubes au sol, la pyramide a 4 étages et 10 cubes (4+3+2+1)
Avec 6 cubes au sol, la pyramide a 6 étages et 21 cubes (6+5+4+3+2+1)


Bastien décide d'utiliser tous les cubes qu'il possède pour faire la plus grande pyramide possible. Au total il dispose de 758 cubes. Quel est le nombre d'étages de la pyramide obtenue?
Combien de cubes sont inutilisés?
Avec 38 cubes au sol, Bastien obtient une pyramide de 38 étages composée de 741 cubes.
Il reste donc 17 cubes non utilisés.


Bastien invite Sophie à jouer avec lui. Ensemble , ils veulent réunir assez de cubes pour avoir une pyramides de 58 étages. Combien de cubes doit apporter Sophie?
Pour avoir une pyramide de 58 étages, il faut placer 58 cubes au sol puis monter la pyramide qui aura ainsi 1770 (58*30.5) cubes. Sophie doit donc apporter 1012 cubes (1770 - 741)

Est ce que tu as trouvé ça Moumoune ?


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Re: Exercices

Message par Invité le Sam 10 Oct - 20:12

Pour la 1 ok
pour la 2 ok mis intuitivement donc c'est pas bon, il doit y avoir une formule à trouver mais j'arrive à:pour n cube au sol on a n+(n+1)+(n+2)+.......+[n-(n-1)] cubes et là je suis incapable de factoriser donc je suis bloquée!!
pour la 3 j'ai pas fait!!
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Re: Exercices

Message par Circé le Lun 12 Oct - 11:42

tounga a écrit:On peut comparer nos résultats si tu veux !

Batien joue avec des cubes à empiler les uns sur les autres.Au début, il place 2 cubes l'un contre l'autre, puis place un cube à cheval sur les 2 cubes du bas; Jugeant a structure ainsi obtenue jolie, il décide d'ajouter systématiquement un cube à cheval sur les 2 autres.
Ainsi, en utilisant 3 cubes au sol alignés les uns contre les autres, il peut placer 2 cubes au dessus et un cube sur le 3ième étage. Il obtient une pyramide de 6 cubes et 3 étages.
Avec 4, et 6 cubes au sol, quel va être le nombre d'étages de la pyramide et le nombre de cubes utilisés?
Avec 4 cubes au sol, la pyramide a 4 étages et 10 cubes (4+3+2+1)
Avec 6 cubes au sol, la pyramide a 6 étages et 21 cubes (6+5+4+3+2+1)


Bastien décide d'utiliser tous les cubes qu'il possède pour faire la plus grande pyramide possible. Au total il dispose de 758 cubes. Quel est le nombre d'étages de la pyramide obtenue?
Combien de cubes sont inutilisés?
Avec 38 cubes au sol, Bastien obtient une pyramide de 38 étages composée de 741 cubes.
Il reste donc 17 cubes non utilisés.

J'ai la même solution, je vous donne ma méthode :

On peut généraliser la formule du calcul du nombre d'étage en fonction du nombre de cubes :
Soit n le nombre d'étage de la pyramide, C le
nombre de cubes utilisés dans la pyramide.
On a : C = ( n * (n+1) ) / 2
On peut partir sur une équation du 2nd degré je pense mais pour le CRPE je crois que ce n'est pas au programme...
Donc, j'ai plutôt fait par tâtonnement mais pas sure que ce soit LA méthode...
On part de l'hypothèse : C < 758
(n * (n+1) ) / 2 < 758
n * (n+1) < 1516
On cherche donc 2 entiers qui se suivent dont le résultat de la multiplication est inférieure à 1516.
Par tâtonnement, on arrive à :
38*39 = 1482 ; 1482 < 1516
39*40 = 1560 ; 1560 > 1516
Les 2 entiers que nous cherchons sont donc 38 et 39 => n = 38 et n+1=39
C = 38*39 / 2
Bastien peut donc construire une pyramide de 38 étages composée de 741 cubes.

nb_cubes_total - C = nb_cubes_restant
758-741 = 17

Il lui reste 17 cubes non utilisés.


Bastien invite Sophie à jouer avec lui. Ensemble , ils veulent réunir assez de cubes pour avoir une pyramides de 58 étages. Combien de cubes doit apporter Sophie?
Pour avoir une pyramide de 58 étages, il faut placer 58 cubes au sol puis monter la pyramide qui aura ainsi 1770 (58*30.5) cubes. Sophie doit donc apporter 1012 cubes (1770 - 741)

Je ne trouve pas le même résultat.
Je pars de la même formule que pour la question précédente :
C = ( n * (n+1) ) / 2
Ici n = 58
C = 58 * 59 /2
C = 1711
Nombre de cubes que Bastien et Sophie ont besoin pour construire une pyramide de 58 étages : 1711

nb_cube_nécessaires = nb_cubes_total_Bastien + nb_cubes_total_Sophie
1711 = 758 + nb_cubes_total_Sophie
nb_cubes_total_Sophie = 1711 - 758 = 953
Sophie doit donc amener 953 cubes.


Est ce que tu as trouvé ça Moumoune ?


Qu'en pensez-vous ?

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Re: Exercices

Message par Invité le Lun 12 Oct - 11:49

Suis d'accord avec toi il faut utiliser cette formule (C = ( n * (n+1) ) / 2) )mais d'ou tu la sorts???
Parce que je voudrai pouvoir l'expliquer!
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Re: Exercices

Message par Circé le Lun 12 Oct - 14:10

moumoune a écrit:Suis d'accord avec toi il faut utiliser cette formule (C = ( n * (n+1) ) / 2) )mais d'ou tu la sorts???
Parce que je voudrai pouvoir l'expliquer!

Oui tu as raison c'est bien de pouvoir expliquer mais pour le coup, je pense que c'est juste une formule à connaître pour le concours :
La somme des entiers naturels est : S = 1+2+3+4+...+(n-1)+n = n(n+1)/2

Une des démonstrations (celle que je trouve perso la + simple), c'est celle-là :
L'astuce est d'ajouter les 2 mêmes sommes :
S = 1 + 2 + 3+...+ (n-2) + (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) + ...+ 3+ 2 + 1

2*S = 1 + 2 + 3 +...+ (n-2) + (n-1) + n
+ n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1
= (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + ... + (n-2+3) + (n-1+2) + (n+1)
= (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1)
= n * (n+1) (il y a n termes (n+1), pour mieux voir ça, tu peux faire sur un exemple avec n pas trop grand)
S = n * (n+1) / 2

Est-ce que ça te va comme explication ? je peux essayer de mieux expliquer sinon ?

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Re: Exercices

Message par Invité le Lun 12 Oct - 14:35

Je regarde a tête reposée à la maison ce soir!
Merci

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Re: Exercices

Message par Invité le Mar 13 Oct - 11:03

Bon ben je vais l'apprendre par coeur parce que je crois que sinon je n'y arriverai pas!!
Merci Circé!
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Re: Exercices

Message par Circé le Jeu 15 Oct - 10:08

Attention je donne mes réponses (en jaune).

moumoune a écrit:Bon comme les cubes de Bastien ne vous inspirent pas je vous met un autre exercice;

a) Benjamin possède 45 billes de plus que Camille. Chaque enfant peut disposer parfaitement toutes les billes en "carrés pleins". Quelles peuvent etres les sommes totales des billes que possèdent, à eux deux, Benjamin et Camille?

2 possibilités :
Benjamin a 49 billes et Camille 4
ou
Benjamin a 81 billes et Camille 36


moumoune a écrit:
b) Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3;5ou 7 , il en reste toujours 2. Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1500et 1600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues?

Au boulot!

Le supermarché a reçu 1577 bouteilles.

C'est bien ça ? (oups j'avais dit peinture + OP, me suis encore fait piéger !)
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Re: Exercices

Message par Tounga le Jeu 15 Oct - 11:12

Je suis d'accord avec les résultats de Circé !
Pour les cubes, j'ai repris mes calculs et effectivement, j'ai fait une erreur, après correction, je trouve bien les mêmes résultats que toi Circé ! Et merci pour la formule, je l'avais zappée celle-là

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Re: Exercices

Message par Invité le Jeu 15 Oct - 19:13

Circé a écrit:
moumoune a écrit:Suis d'accord avec toi il faut utiliser cette formule (C = ( n * (n+1) ) / 2) )mais d'ou tu la sorts???
Parce que je voudrai pouvoir l'expliquer!

Oui tu as raison c'est bien de pouvoir expliquer mais pour le coup, je pense que c'est juste une formule à connaître pour le concours :
La somme des entiers naturels est : S = 1+2+3+4+...+(n-1)+n = n(n+1)/2

Une des démonstrations (celle que je trouve perso la + simple), c'est celle-là :
L'astuce est d'ajouter les 2 mêmes sommes :
S = 1 + 2 + 3+...+ (n-2) + (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) + ...+ 3+ 2 + 1

2*S = 1 + 2 + 3 +...+ (n-2) + (n-1) + n
+ n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1
= (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + ... + (n-2+3) + (n-1+2) + (n+1)
= (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1)
= n * (n+1) (il y a n termes (n+1), pour mieux voir ça, tu peux faire sur un exemple avec n pas trop grand)
S = n * (n+1) / 2

Est-ce que ça te va comme explication ? je peux essayer de mieux expliquer sinon ?

Bon alors tu as tout juste!!
Pour la petite histoire la formule a été trouvée par un petit garçon de 8 ans à qui on avait demander de calculer la somme des 100 premiers chiffres;
Celui ci a décidé de poser l'opération:
0 + 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8.......................+90+91+92+93+94+95+96+97+98+99+100
+100+99+98+97+96+95+94+93+92+.....................+10+ 9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 1+ 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
=100+100+100+100+100+100+100..........................+100+100+100+100+100+100+100+100+100
=(n+1)n/2

La maitresse qui avait donné ce problème aux enfants pour avoir un petit moment de calme c'est trouvée bien embêtée quand l'élève lui a dit j'ai trouvé au bout de 5mn!!!!!!!!!!!!

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Re: Exercices

Message par Invité le Jeu 15 Oct - 20:04

Je vous met la correction
Si vous en voulez d'autres dites moi!

a) Benjamin possède 45 billes de plus que Camille. Chaque enfant peut disposer parfaitement toutes les billes en "carrés pleins". Quelles peuvent etres les sommes totales des billes que possèdent, à eux deux, Benjamin et Camille?
b) Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3;5ou 7 , il en reste toujours 2. Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1500et 1600, combien de bouteilles le supermarché a-t-il reçues?


a) Soient {B;C}eN
tels que B² représente le nombre de billes de Benjamin et C² celui de Camille.
D'après l'énoncé, on a :
B²=C²+45
B²-C²=45
(B-C)(B+C)=45
(B-C)(B+C)=1x45
(B-C)(B+C)=3x15
(B-C)(B+C)=5x9
On a donc:
B-C=1 B-C=3 B-C=5
B+X=45 B+C=15 B+C=9
2B=46 2B=18 2B=14
B=23 B=9 B=7
donc
C=22 C=6 C=2
Donc les nombres respectifs de billes que Camille et Benjamin peuvent avoir sont:
S={(484;529);(36;81);(4;49)}
Les sommes totales de billes sont:
S={1013;117;53}

b) Soit n, le nombre de bouteilles cherchées, tel que n€N
D'après l'énoncé, (n-2) est un multiple de 3;5;7.
Donc c'est un multiple de 3x5x7=105
On cherche les miltiple de 105 compris entre 1498 et 1598 inclus
14x105 = 1470 => n=1470+2=1472
15x105 = 1570 => n=1575+2=1577
16x105=1680
Donc, le nombre de bouteilles livrées est 1577


Voilà c'est tout!!!!
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Re: Exercices

Message par Circé le Ven 16 Oct - 9:35

Merci Moumoune !
J'ai oublié un cas pour les billes ! Pas bien...

Je ne savais pas l'origine de la démonstration ! C'est marrant comme histoire et ça aide à la retenir je trouve !

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