par Invité Jeu 9 Oct - 16:31
Petit ennui pour le dénombrement des chemins, la réponse 20 et correcte, mais les raisonnements sont faux.
L'erreur porte en particulier sur le fait que les chemins vont tous du départ à l'arrivée, donc compter deux chemins au premier niveau plus quatre au niveau suivant …n'a pas de sens.
Par ailleurs, la méthode consistant à dire qu'il y a d'abord deux chemins puis 4 puis 8 est correcte tant que le dessin s'élargit : pour chaque chemin arrivant à un étage il y en a deux qui continuent jusqu'à l'étage en dessous, mais ça ne marche plus ensuite puisqu'il n'y a que certains chemins qui se ramifient… pas tous.
Ajouter 6 à l'étape suivante revient à compter les petits segments, pas les chemins complets, ça ne va pas.
Un raisonnement possible s'appuie sur le schéma suivant.
A
1 1
1 2 1
1 3 3 1
4 6 4
10 10
20
Pour faciliter l'explication, je nomme les nœuds ainsi :
A
B C
D E F
G H I J
K L M
N O
P
Il manque les lignes, mais le nombre écrit à chaque nœud est le nombre de façons d'aller du départ à ce nœud.
On peut facilement vérifier qu'il n'y a qu'un chemin allant du départ à chacun des points marqués 1.
La valeur 2 est obtenue ainsi : on peut atteindre le point E en prolongeant vers la droite l'unique chemin qui mène à B ou en prolongeant vers la gauche l'unique chemin qui mène à C (1 + 1 = 2 !!!!!).
La valeur 3 qui signifie qu'il y a 3 chemins menant à H s'obtient ainsi : on peut arriver à H en prolongeant vers la droite l'unique chemin qui mène à D ou en prolongeant vers la gauche l'un des deux chemins qui mènent à E :
1 + 2 = 3
On procède ainsi de proche en proche, et la valeur 20 finale est obtenue en disant que l'on peut prolonger chacun des 10 chemins menant à N ou chacun des 10 chemins menant à O…………… 20 possibilités.
Ceci montre au passage que le raisonnement disant qu'il y a 18 chemins menant à l'avant dernier niveau est faux, il y en a 20, autant qu'au dernier niveau. (on compte des chemins entiers, et non des petits segments).
Variante :
On peut commencer de la même façon, et s'arrêter à la ligne du milieu (GHIJ) et raisonner ainsi.
Les chemins qui vont de A à P passent forcément par un des quatre points GHIJ, et par un seul, nous allons donc calculer combien de chemins passent par G (un seul, on suit toujours le bord gauche), par H, par I puis par J et additionner le tout.
Pour H, il y a trois façons d'aller de A à H, mais comme le dessin est gentiment symétrique, il y a aussi trois façons d'aller de H à P, ce qui nous laisse 3 x 3 = 9 façons d'aller de A à P en passant par H.
Idem pour I, le nombre de chemins de A à P est donc 1 + 9 + 9 + 1 = 20
Alléluia !!! (laïque tout de même l'Alléluia).
Pour finir une autre solution, complètement différente :
un chemin est une suite de 6 petites étapes, dont trois vont vers la gauche et trois vers la droite (sinon, on ne se trouve pas à la fin à la verticale du point de départ).
Si on représente chacune de ces étapes par une lettre g ou d, un chemin est représenté par un "mot" constitué de six lettres g ou d. on peut les écrire tous dans l'ordre alphabétique, ça permet de ne pas en oublier, puis les compter.
dddggg
ddgdgg
ddggdg
ddgggd
dgddgg
dgdgdg
dgdggd
dggddg
dggdgd
dgggdd
J'ai fini la liste des chemins qui commencent en partant vers la droite, il y en a 10. Comme la figure a un bel axe de symétrie vertical, il y a autant de chemins qui commencent en partant vers la gauche et donc 20 chemins en tout.
Conclusion : si vous rencontrez un pb de ce type au crpe, gardez le pour la fin.
PS : contrairement à ce qui est dit dans un autre sujet, la règle générale est que les correcteurs examinent les étapes et pas seulement le résultat final. Un raisonnement correct avec une réponse erronée rapporte toujours une partie des points (sauf évidemment si la question vaut 0,25 pt !). Mais l'inverse est vrai également : une réponse exacte basée sur un résultat faux ne rapporte jamais la totalité des points, et le plus souvent elle ne rapporte rien.