Démonstration nombres décimaux

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Dice59
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Démonstration nombres décimaux

Message par Dice59 le Ven 29 Juil - 15:00

Bonjour

Je suis en train de travailler sur les nombres rationnels et décimaux et je suis tombée sur cette démonstration :

Si un nombre rationnel exprimé sous forme de fraction irréductible a/b est un nombre décimal, il existe n tel que a/b × 10n soit un nombre entier.

Or 10n = 2n×5n donc a/b × 2n×5n est un nombre entier donc (ax2n×5n)/b est un nombre entier. Comme a et b n’ont pas de diviseur commun (car a/b est irréductible), il faut que b divise 2n×5n, b est donc de la forme 2p×5q avec 0 ≤ p ≤ n et 0 ≤  q ≤  n.

Je pense que c'est pour démontrer qu'un nombre est décimal mais j'ai un peu de mal à comprendre le cheminement. Quelqu'un saurait-il m'expliquer ?

Merci !
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Mim
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Re: Démonstration nombres décimaux

Message par Mim le Sam 30 Juil - 0:25

Hello Dice,

J'ai cherché un moment à comprendre cette démo aussi.
SI j'arrive à te l'expliquer, c'est que j'ai bien compris  Very Happy

Disons que tu as un nombre rationnel décimal (prenons par exemple 0,25) que tu peux écrire sous la forme d'une fraction irréductible a/b (1/4).
Comme il est décimal, il existe un nombre n, tel que a/b* 10n soit un nombre entier. (dans notre cas, n = 2 ).

Donc a/b * 10n est un nombre entier et comme 10n est égal à 2n×5n
=> a/b * 2n×5n est un entier ou encore (a*2n×5n )/b est un entier.
dans l'exemple (1*22×52)/4 est un entier

Si ce nombre est un entier, ça veut dire que ton numérateur doit être divisible par ton dénominateur.
Donc b doit diviser a*2n×5n
(4 doit diviser 1*22×52)

Mais comme dans nos hypothèses de départ, a/b est irréductible, il n'est pas possible de simplifier la fraction a/b donc b doit diviser 2n×5n
(4 divise 22×52)

Et pour que b divise 2n×5n , il faut que b soit un multiple de 2 avec une puissance inférieure à n et/ou un multiple de 5 avec une puissance inférieure à n.
donc b est égal à  2n×5n avec  0 ≤ p ≤ n et 0 ≤  q ≤  n
(4 = 22×50)

En conclusion, si un nombre rationnel exprimé sous forme de fraction irréductible est un nombre décimal alors b est de la forme 2n×5n avec  0 ≤ p ≤ n et 0 ≤  q ≤  n

Après relecture, je ne sais pas si c'est très clair scratch
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Dice59
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Re: Démonstration nombres décimaux

Message par Dice59 le Dim 31 Juil - 21:37

Merci beaucoup, ça me paraît plus clair ! Mais faut-il connaitre ce type de démonstrations pour le concours ?
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Mim
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Re: Démonstration nombres décimaux

Message par Mim le Ven 5 Aoû - 16:32

Honnêtement: je n'espère pas! Mais je ne sais pas du tout...

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Re: Démonstration nombres décimaux

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