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3 participants

[Training] Dénombrements et numérations


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[Training] Dénombrements et numérations - Page 3 Empty Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité Jeu 15 Juil - 11:36

Clair qu'on est peu à se manifester librement et même ceux bossant nos exos dans l'ombre ne doivent pas être bien nombreux :)
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[Training] Dénombrements et numérations - Page 3 Empty Re: [Training] Dénombrements et numérations

Message par Invité Jeu 15 Juil - 13:46

Syae a écrit:Exercice 1

- Combien de nombres de 4 chiffres
comportent le chiffre 0 dans leur écriture ?

- Écrivez le nombre
obtenu en numération de position de base 8.

Exercice 2

-
70 personnes se rencontrent et se saluent en se serrant la main.
Chacune des personnes serre la main de toutes les autres.

Combien
de poignées de mains sont ainsi échangées ?

- Écrivez le nombre
obtenu en numération de position de base 12.


Correction

Exercice 1

Dans ce type de problème, il est parfois plus simple de répondre à la question "contraire", à savoir ici chercher d'abord combien de nombres de 4 chiffres s'écrivent sans utiliser le chiffre 0.

Cherchons d'abord combien de nombres s'écrivent avec 4 chiffres : il y en a 9 000. En effet, de 1 à 9 999, il y a 9 999 nombres parmi lesquels 999 s'écrivent avec moins de 4 chiffres (ceux de 1 à 999).

Puis, parmi les nombres de 4 chiffres, cherchons combien s'écrivent sans utiliser le chiffre 0.

Pour répondre à cette question, on peut imaginer un arbre de choix.

Pour chaque ordres d'unités (milliers, centaines, dizaines, unités), il y a 9 possibilités (chiffres de 1 à 9) indépendantes les unes des autres. Le nombre total de nombres qui s'écrivent avec 4 chiffres, sans 0, est donné par le calcul : 9x9x9x9 = 9^4 = 6 561.

Comme 9 000 - 6 561 = 2 439, il y a 2 439 nombres de 4 chiffres qui comportent le chiffre 0 dans leur écriture.

( / ! \ Pour la suite de l'exercice, il s'agit d'une question personnelle que j'ai ajouté pour compléter l'exercice, la réponse suivante présente donc ma méthode de calcul mais ne constitue pas une méthode universelle !)

On cherche à écrire le nombre 2 439 en base 8.

Il y a 4 chiffres, je cherche donc dans un premier temps les valeurs des 4 premières puissances de 8 :

- 8^0 = 1
- 8^1 = 8
- 8^2 = 64
- 8^3 = 512

Je divise ensuite le nombre en base 10 par la plus grande puissance de 8 considérée ici, soit 8^3.

2 439 / 8^3 = 4 + un reste non entier naturel (0,76...)

Je retiens donc 4 comme chiffre des milliers en base 8 et je retranche 4x8^3 au nombre initial, soit 2 439 - 2 048 = 391.

Je divise ensuite 391 par la puissance de 8 décroissante suivante, soit 8^2.

391 / 8^2 = 6 + un reste non entier naturel (0,10...)

Je retiens donc 6 comme chiffre des centaines en base 8 et je retranche 6x8^2 au précédent nombre, soit 391 - 384 = 7.

Je divise ensuite 7 par la puissance de 8 décroissante suivante, soit 8^1.

7/8 = 0 + un reste non entier naturel (0,875)

Je retiens donc 0 comme chiffre des dizaines en base 8 et je retranche 0x8^1 au précédent nombre soit 7 - 0 = 7.

Puisqu'il ne me reste qu'un nombre d'unités, j'en déduis que le chiffre des unités en base 8 est 7.

Soit l'écriture finale de 2 439 en base 8 : 4 607.

Exercice 2

Il peut être utile, pour "se faire une idée", de chercher la réponse dans un cas plus simple, par exemple en faisant un schéma.

-> Dans le cas de 5 personnes (A, B, C, D, E), on peut représenter les personnes par des croix et les poignées de main par des traits entre chaque croix.

Un tel schéma peut conduire à deux raisonnements :

Premier raisonnement

Si on prend la croix de la personne A, on constate que 4 traits en partent.

En prenant une deuxième croix (personne B), on constate que 3 nouveaux traits (en dehors de celui déjà considéré pour la première croix) en partent, etc.

- Dans le cas du problème, cela revient à considérer qu'une première personne sert la main à 69 autres
- La deuxième personne (B), serre la main à 68 autres personnes (la poignée de main avec la première ayant déjà été considérée)
- La troisième personne (C), serre la main à 67 autres personnes (les poignées de main avec les deux premières ayant déjà été considérées). Et ainsi de suite...

Le nombre total de poignées de mains est donc donné par la somme S :

S = 69 + 68 + 67 + ... + 3 + 2 + 1

Pour calculer facilement cette somme, il est commode de l'écrire à "l'envers". On l'obtient ainsi sous deux formes :

S = 69 + 68 + 67 + ... + 3 + 2 + 1
S = 1 + 2 + 3 + ... + 67 + 68 + 69

Si on ajoute terme à terme ces 2 égalités, on obtient :

2S = 70 + 70 + 70 ... + 70 + 70 + 70 (69 fois)

Donc 2S = 69x70 et S = 69x35 = 2 415

Le nombre de poignées de mains est donc égal à 2 415.

(Voir aussi la technique "Lego-escaliers" qui permet d'imager cette technique de calcul postée un peu plus haut)

Deuxième raisonnement

- Sur le schéma, on observe que 4 traits partent de chaque croix.
- Dans le cas de 70 personnes, cela revient à considérer que chaque personne serre la main à 69 personnes. On pourrait donc penser que le nombre total de poignées est égal à 69x70 mais ça serait oublier que chaque poignée de main est ainsi comptée deux fois (de la personne A vers la personne B et de la personne B vers la personne A)

Il faut donc diviser ce résultat par 2, ce qui ramène au calcul (69X70)/2.

En utilisant la même méthode de l'exercice 1, l'écriture en numération de position de base 12 de 2 415 s'écrit : 1 493

[Version synthétique ou comment je fais au brouillon sans prendre le soin d'expliquer par des phrases ce que je fais :

2 415 (base 12)

12^3 = 1 728 X 1 -> 687
12^2 = 144 x 4 -> 111
12^1 = 12 x 9 -> 3
12^0 = 3

Bien sûr, une telle écriture signifie strictement rien, c'est juste histoire d'avoir une trace écrite de mes calculs :o]
Jibé
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Message par Jibé Jeu 15 Juil - 19:44

- ouuuuh ! très joli la première partie de la réponse 1 : raisonner par l'inverse !! ça fait gagner du temps par rapport à ma façon de faire (j'avais quand même bon ! Cool )

- pour la suite de l'ex. par contre je préfère ma méthode (surtout pour la rapidité : le jour J il n'y a pas une sec. à perdre !)

- merci pour ta longue explication, moi j'ai bien compris !!



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Message par Invité Jeu 15 Juil - 19:59

Je risque de faire comme toi en fait, je réalise [Training] Dénombrements et numérations - Page 3 Suspect

Tant mieux si la correction passe sans souci :)

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