Critères de divisibilité

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aminerale
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Re: Critères de divisibilité

Message par aminerale le Jeu 11 Fév - 15:51

Le dernier que j'ai sous la main et promis, j'arrête :

Soit le nombre 72a83b. Il est divisible par 6 et 45. Trouver a et b.
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Re: Critères de divisibilité

Message par Nainess le Jeu 11 Fév - 16:11

aminerale a écrit:
Nainess a écrit:
aminerale a écrit:Non, c'est bien ça, mais tu en as oubliés :

9 = 1+ 8 mais pas seulement
18 = 6+6+3+3 mais pas seulement

Et c'est une annale de 2001.

Euh zai pas compris ce que tu as rajouté

En fait, tu as oublié que
9 = 9+0 => nombre cherché 9009
9 = 8+1 = 7+2 = 6+3 = 5+4
=> pour une somme = 18 on a les nombres
1881 et 8118
2772 et 7227
3663 et 6336
4554 et 5445

La solution "officielle" :

Dijon 2001. Soit P un tel nombre de 4 chiffres, pour être un palindrome il faut que le chiffre des centaines soit d et celui des unités de mille soit u. On a donc P = u d d u avec 0 ≤ u ≤ 9 et 0 ≤ d ≤ 9.
P est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
Donc si 2 u + 2 d multiple de 9 ou si 2 ( u + d ) multiple de 9
Comme 0 ≤ u ≤ 9 et 0 ≤ d ≤ 9, on a : 0 ≤ u + d ≤ 18
On a donc 2 possibilités : u + d = 18 ou u + d = 9
● u + d = 9 implique u = 9 et d = 9 comme seule possibilité d’où P = 9999 ● u + d = 18, on parcourt toutes les possibilités
u = 0 et d = 9 impossible car le nombre n’aurait que deux chiffres ou u = 9 et d = 0 (P = 9009)
u = 1 et d = 8 (P = 1881) ou u = 8 et d = 1 (P= 8118) solutions « symétriques »
u = 2 et d = 7 (P = 2772) ou u = 7 et d = 2 (P = 7227)
u = 3 et d = 6 (P = 3663) ou u = 6 et d = 3 (P = 6336)
u = 4 et d = 5 (P = 4554) ou u = 5 et d = 4 (P = 5445)
D'où les dix solutions possibles :
9009 ; 8118 ; 7227 ; 6336 ; 5445 ; 4554 ; 3663 ; 2772 ; 1881 ; 9999

Oui j'avais fini par comprendre, bon apparemment je les avais tous! Mais ma méthode n'est peut être pas assez explicite vu le corrigé

Je me penche sur l'autre
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Re: Critères de divisibilité

Message par Nainess le Jeu 11 Fév - 16:27

Aloooooooooooooors

S'il est divisible par 6, c'est un multiple de 2 et de 3 (car 6 = 2 x 3), et s'il est divisible par 45, c'est un multiple de 9 et de 5 (car 45 = 9 x 5)

Donc b = 0 ou b = 5 car un multiple de 5 a un chiffre d'unité égal à 0 ou 5.
Mais comme c'est aussi un multiple de 2, le chiffre des unité est pair, donc déjà on sait que b = 0

Après, comme il est aussi multiple de 3 et 9, on sait que la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Donc 7 + 2 + 8 + 3 + 0 + a = nombre multiple de 9
Soit 20 + a = multiple de 9

Donc a = 7 (pour avoir 27)

Donc le nombre est 727830 ??
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Re: Critères de divisibilité

Message par aminerale le Sam 20 Fév - 18:36

Oui, c'est ça !
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Re: Critères de divisibilité

Message par aminerale le Sam 20 Fév - 18:37

Un autre ?
CRPE 2009 gr 2

Dans cet exercice, a, b et c sont des chiffres compris entre 1 et 9.
On considère des nombres écrits en base dix avec ces chiffres et on note, par exemple, bac le nombre dont
b est le chiffre des centaines, a celui des dizaines et c celui des unités.
Les questions sont indépendantes.
1) Voici 4 nombres : 7, 13, 57 et 61. Parmi ces nombres, lequel n’est pas un nombre premier ? Justifier.
2) a) Le nombre 3737 est-il un nombre premier ? Justifier.
b) Un nombre de la forme abab peut-il être un nombre premier ? Justifier.
3) a) On considère les trois nombres abc , abb et acc . Montrer que la somme de ces trois nombres est
un nombre divisible par 3.
b) On considère les deux nombres cba et bba . Proposer un troisième nombre de trois chiffres,
uniquement formé avec des chiffres choisis parmi les chiffres a, b et c, pour que la somme des trois
nombres soit divisible par 3. Justifier.
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Re: Critères de divisibilité

Message par Nainess le Sam 20 Fév - 19:07

1) Un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même. Donc 7,13 et 61 sont premiers. Mais pas 57 car 5+7=12, donc la somme des chiffres de ce nombre est multiple de 3, il est donc divisible par 3 (3x19=57)

2) a/ 3737 n'est pas pair donc pas divisible par 2, ne se finit pas par 5 donc pas divisible par 5, et la somme de ses chiffres 3+7+3+7=20 n'est pas multiple de 3 donc ne se divise pas par 3.
3737 n'a aucun diviseur premier donc il est uniquement divisible par lui même ou par 1, c'est donc un nombre premier.

b/ abab peut être premier (voir a/), mais pas toujours :
- si b=5, il sera divisible par 5
- si b est pair, il sera divisible par 2
- si 2a+2b est multiple de 3, il sera divisible par 3 (ex : 3939)


Pour le 3 je cherche car j'ai plus de mal
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Re: Critères de divisibilité

Message par Circé le Sam 20 Fév - 19:15

Ohhh mon sujet de l'année dernière Very Happy

Attention Nainess, il n'y a pas que 2, 5 et 3 comme diviseur.
Je me rappelle que j'étais partie comme toi et la question 2)b) m'avait aidé à répondre.
Il faut penser décomposition.
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Re: Critères de divisibilité

Message par Nainess le Sam 20 Fév - 19:32

3) a/ abc+abb+acc = 100a + 10b + c + 100 a + 10b + b + 100a + 10c + c = 300a + 21b + 12c = 3 (100a + 7b + 4c)

Donc il est bien multiple de 3

b/ cba + bba = 100c + 10b + a + 100b + 10b + a = 100c + 120b + 2a

120b est déjà multiple de 3 : 3x40 = 120
pour que les a soient multiple de 3, il faudrait rajouter une unité : 2a + a = 3a
pour que les c soient multiple de 3, il faudrait rajouter une centaine et dix unités : 100c + 100 c + 10c = 210 c (210 est multiple de 3 : 3x70)

Donc le nombre manquant peut être cca



Je regarde pour le 2 alors, j'ai fait ça trop rapidement surement
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Re: Critères de divisibilité

Message par Nainess le Sam 20 Fév - 19:38

Pour le
2) a/ 3737 est divisible par le nombre premier 37 donc non il n'est pas premier (c'est chiant cette question, on ne va pas se taper tous les nombres premiers non plus!!)

b/ Ze sais pas
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Re: Critères de divisibilité

Message par aminerale le Sam 20 Fév - 20:20

Je vous donne la réponse demain ou lundi
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Re: Critères de divisibilité

Message par Circé le Sam 20 Fév - 23:03

Nainess a écrit:Pour le
2) a/ 3737 est divisible par le nombre premier 37 donc non il n'est pas premier (c'est chiant cette question, on ne va pas se taper tous les nombres premiers non plus!!)

b/ Ze sais pas

pour b) indication :
abab = 1000 a + 100 b + 10 a + b = 1010 a + 101 b = 101 (10 a + b)

(j'écris pas +, avec bb ds les bras, dur de taper Wink )

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Re: Critères de divisibilité

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