Critères de divisibilité

Marie affirme que le produit de 3 nombres consécutifs est divisible par 30. (Marie, t'abuses de nous dire des trucs pareils)
A t-elle raison, justifiez.

Ca m'énerve !

bah tu montres un contre exemple
11x12x13= 1716

1716/30=57,2

donc bah non ça fonctionne pas

Ca voudrait dire que

(a-1) x a x (a+1) = a^3 - a

Bon après je réfléchis... Cooki de l'aide?

après je ne sais pas si le contre exemple suffit...
le truc de petite loutre me semble pas faux

déjà pour être divisible par 30 faut être divisible par 3

Rhaaaaaaaaaaaaaaaaaaa mon pc a buggé quand je suis arrivée à la fin de l'explication

Je recommence :


On a 30 divisible par 3

Or dans un produit de 3 nombres consécutifs, il y en a toujours un multiple de 3 (4 5 6, 9 10 11, 23 24 25), donc le produit de ces 3 nombres est lui même divisible par 3.

Donc ce produit est divisible par 30...Je sais pas si c'est très clair

Et sinon on peut dire aussi que pour que ça soit effectif, faut que a soit supérieur ou égal à 4 :

4^3 - 4 = 64 - 4 = 60 donc ok
3^3 - 3 = 27 - 3 = 24 donc pas ok

ah bah merci!!
mademoiselle qui dit pas que c'est moi qui l'ai aidé! non mais vas y garde tous les applaudissements pour toi! tu l'as aps volé celui là!

cooki chocolat nougatine a écrit:ah bah merci!!
mademoiselle qui dit pas que c'est moi qui l'ai aidé! non mais vas y garde tous les applaudissements pour toi! tu l'as aps volé celui là!

Ah bah je l'avais mis dans la 1ere réponse désolée ma cookinette préférée
C'est d'elle que vient la solution She's the best!!!!

par contre si elle est aps bonne on dit que c'est nainess hein?!!

cooki chocolat nougatine a écrit:par contre si elle est aps bonne on dit que c'est nainess hein?!!

Saleté!!!

J'ai oublié d'ajouter : c'est une fille en or, d'ailleurs on le voit sur sa photo

Bon ben on a faux, Sandra a la solution (pourquoi j'écris pour les autres?? ) :

on montre un contre exemple : 7x8x9 n'est pas divisible par 30, donc ce n'est pas vrai pour tout nombre

bah c'est ce que j'ai dit au début!

Oui mais je trouve ça trop simple moi perso pour un exo de concours : ça prend 2 sec ici de trouver un contre-exemple vu qu'on a déjà l'opération et tout
T'as la réponse Ami??

Eh j'ai rien dit moi !

Euh, je suis blonde (de l'intérieur car je suis bien brune sinon )

C'ETAIT 5 NOMBRES CONSECUTIFS ET NON 3 !!!!!

Donc, oui, c'était trop simple : forcement : quel boulet

aminerale a écrit:Euh, je suis blonde (de l'intérieur car je suis bien brune sinon )

C'ETAIT 5 NOMBRES CONSECUTIFS ET NON 3 !!!!!

Donc, oui, c'était trop simple : forcement : quel boulet

A ce point là tu crois ? J'me suicide de suite ???

Bon, sans rire, je ne m'en sors toujours pas !

Donc je suis partie du principe suivant :
(n-2) x (n-1) x n x (n+1) x(n+2) = (n-2) (n+2) (n-1) (n+1) n = (n^2 - 4) (n^2 -1) n = (n^4 - 5n^2 +4) n

Ce qui ne m'amène nulle part !!!!

Ça m'agace !

Voici le corrigé officiel du prof !

Oui, le produit de 5 entiers consécutifs est toujours divisible par 30 !
En effet, considérons cinq nombres entiers consécutifs et notons n leur produit.
● parmi les cinq entiers consécutifs considérés, il y a au moins un nombre pair,
donc n est un multiple de 2.
● parmi les cinq entiers consécutifs considérés, il y a au moins un qui est multiple
de 3, donc leur produit n est multiple de 3.
● enfin parmi ces cinq nombres consécutifs, il y en a au moins un qui est multiple
de 5, donc leur produit n est multiple de 5.
On peut donc affirmer que la décomposition de n en produit de facteurs premiers
contient les facteurs 2, 3 et 5 ou n s’écrit 2 × 3 × 5 × k
Le nombre n est donc divisible par 2 × 3 × 5, c'est-à-dire par 30.

Effectivement, c'était sur les critères de divisibilité ! Pourquoi chercher aussi loin !

un autre plus simple :

Les nombres 2882 et 19591 sont dse palindromes ( qui se lisent dans les 2 sens). Trouver tous les palindromes à 4 chiffres qui sont divisibles par 9.

aminerale a écrit:A ce point là tu crois ? J'me suicide de suite ???

Bon, sans rire, je ne m'en sors toujours pas !

Donc je suis partie du principe suivant :
(n-2) x (n-1) x n x (n+1) x(n+2) = (n-2) (n+2) (n-1) (n+1) n = (n^2 - 4) (n^2 -1) n = (n^4 - 5n^2 +4) n

Ce qui ne m'amène nulle part !!!!

Ça m'agace !

J'étais partie sur la même chose que toi et pareil je ne voyais pas où ça pouvait mener!!

Ca reste quand même compliqué je trouve... Fallait au moins l'avoir vu une fois pour y penser!!

Je réfléchis à ton autre problème

aminerale a écrit:un autre plus simple :

Les nombres 2882 et 19591 sont dse palindromes ( qui se lisent dans les 2 sens). Trouver tous les palindromes à 4 chiffres qui sont divisibles par 9.

Alors un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Donc on a :
palindrome égal à 9 => 1881 ou 8118
palindrome égal à 18 => 6336 ou 3663
palindrome égal à 27 => pas possible
palindrome égal à 36 => 9999


Euh ça me parait trop simple

Non, c'est bien ça, mais tu en as oubliés :

9 = 1+ 8 mais pas seulement
18 = 6+6+3+3 mais pas seulement

Et c'est une annale de 2001.

ah vi!! En plus me suis crompée!!

Donc on a :
palindrome égal à 9 => pas possible en fait
palindrome égal à 18 => 6336 ou 3663 ou 4554 ou 5445 ou 1881 ou 8118 ou 7227 ou 2772 ou 9009
palindrome égal à 27 => pas possible
palindrome égal à 36 => 9999

C'est bon?

Nainess a écrit:

aminerale a écrit:Non, c'est bien ça, mais tu en as oubliés :

9 = 1+ 8 mais pas seulement
18 = 6+6+3+3 mais pas seulement

Et c'est une annale de 2001.

Euh zai pas compris ce que tu as rajouté

En fait, tu as oublié que
9 = 9+0 => nombre cherché 9009
9 = 8+1 = 7+2 = 6+3 = 5+4
=> pour une somme = 18 on a les nombres
1881 et 8118
2772 et 7227
3663 et 6336
4554 et 5445

La solution "officielle" :

Dijon 2001. Soit P un tel nombre de 4 chiffres, pour être un palindrome il faut que le chiffre des centaines soit d et celui des unités de mille soit u. On a donc P = u d d u avec 0 ≤ u ≤ 9 et 0 ≤ d ≤ 9.
P est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
Donc si 2 u + 2 d multiple de 9 ou si 2 ( u + d ) multiple de 9
Comme 0 ≤ u ≤ 9 et 0 ≤ d ≤ 9, on a : 0 ≤ u + d ≤ 18
On a donc 2 possibilités : u + d = 18 ou u + d = 9
● u + d = 9 implique u = 9 et d = 9 comme seule possibilité d’où P = 9999 ● u + d = 18, on parcourt toutes les possibilités
u = 0 et d = 9 impossible car le nombre n’aurait que deux chiffres ou u = 9 et d = 0 (P = 9009)
u = 1 et d = 8 (P = 1881) ou u = 8 et d = 1 (P= 8118) solutions « symétriques »
u = 2 et d = 7 (P = 2772) ou u = 7 et d = 2 (P = 7227)
u = 3 et d = 6 (P = 3663) ou u = 6 et d = 3 (P = 6336)
u = 4 et d = 5 (P = 4554) ou u = 5 et d = 4 (P = 5445)
D'où les dix solutions possibles :
9009 ; 8118 ; 7227 ; 6336 ; 5445 ; 4554 ; 3663 ; 2772 ; 1881 ; 9999

Le dernier que j'ai sous la main et promis, j'arrête :

Soit le nombre 72a83b. Il est divisible par 6 et 45. Trouver a et b.