Probabilités - exercices

Hello !

Voici quelques exercices piochés sur le net, sur les probabilités !
Attention : quand vous parlez d'un exercice, pensez à le citer pour que cela soit plus clair !

Exercice 1 :
Mehdi dispose de 10 paires de chaussures distinctes.
Il les jette en vrac dans une caisse.
Il extrait, l'une après l'autre et au hasard 4 chaussures de cette caisse.
Quelle est la probabilité qu'il dispose d'une paire (au moins) de chaussures assorties?

Correction ici :
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/420362-probabilite-crpe.html
>>>> si quelqu'un peut expliquer clairement la correction de celui-ci, je suis preneuse car je n'ai pas compris

Pamotte a écrit:Hello !

Voici quelques exercices piochés sur le net, sur les probabilités !
Attention : quand vous parlez d'un exercice, pensez à le citer pour que cela soit plus clair !

Exercice 1 :
Mehdi dispose de 10 paires de chaussures distinctes.
Il les jette en vrac dans une caisse.
Il extrait, l'une après l'autre et au hasard 4 chaussures de cette caisse.
Quelle est la probabilité qu'il dispose d'une paire (au moins) de chaussures assorties?

Correction ici :
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/420362-probabilite-crpe.html
>>>> si quelqu'un peut expliquer clairement la correction de celui-ci, je suis preneuse car je n'ai pas compris

La honte, je ne sais pas répondre à ça. Mais pour moi, ça met en jeu des techniques de proba qui ne sont pas au concours.
Désolée Pamotte de ne pas pouvoir t'aider !!!

Circé, Lys, Syae, ou qui que tu sois, où êtes vous ???

Ils nous abandonnent quand on a besoin d'eux ! Ah les vils et cruels personnages ^^

(pour l'instant, je me rattrape avec des exos de 3e, puis j'enchainerai avec ceux de 1ere Littéraire > je pense qu'on peut nous demander ce type là...)

La correction fait intervenir des coefficients binomial, anciennement combinaison et des arrangements. Je ne pense pas que cela soit au programme du crpe.

Qu'en pensez vous ?

Non pas au programme... Mais on n'a pas une méthode simple pour réaliser cet exo ?

j'ai essayé avec un papier et un crayon en faisant un arbre mais y'en pour super longtemps à faire ça.

J'ai rien compris à la correction mais je m'y colle!!!!!!!!

si on ne peut pas trouver simplement, je déduis qu'on ne peut pas avoir un tel exo au concours, du moins j'espère

Si il faut passer par un arbre de dénombrement, cela va être long et un brin compliqué ... Mais, je me lancerai ce soir ...

Ben je trouve pas comme lui mais les probas c'est ce que j'aime le moins alors...
J'attends confirmation ou pas de mon homme qui est très bon en maths normalement si c'est bon, je vous mets comment j'ai fait !

Merci Cirçounette !

Pamotte a écrit:Hello !

Voici quelques exercices piochés sur le net, sur les probabilités !
Attention : quand vous parlez d'un exercice, pensez à le citer pour que cela soit plus clair !

Exercice 1 :
Mehdi dispose de 10 paires de chaussures distinctes.
Il les jette en vrac dans une caisse.
Il extrait, l'une après l'autre et au hasard 4 chaussures de cette caisse.
Quelle est la probabilité qu'il dispose d'une paire (au moins) de chaussures assorties?

Correction ici :
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/420362-probabilite-crpe.html
>>>> si quelqu'un peut expliquer clairement la correction de celui-ci, je suis preneuse car je n'ai pas compris

Euh, je me lance, c'est sûrement faux mais des fois ça aide à comprendre...

2 chaussures pour chaque paire et 10 paires de chaussures donc si on ne fait que 2 tirages, la probabilité de tirer les bonnes chaussures est 2/20 x 1/19 = 1/190. Maintenant s'il tire 4 chaussures, il a deux fois plus de chances de tomber sur la bonne paire donc la probabilité d'avoir au moins une paire de chaussures assorties est 1/95.

Euh, je suis sûre que c'est trop simple comme raisonnement...

Je ne peux pas te dire
Tu me dirais que même en tirant une seule chaussure il pourrait tirer une paire que je te croirais ^^ Il m'a paumée cet exo !

Je pense qu'il faut passer par les évènements inter ou union, donc pour moi ce n'est pas au programme!

De la façon dont je l'ai fait c'est aussi au programme, mais j'ai pas encore reçu la confirmation de mon homme et comme il est en déplacement je sais pas qd il pourra le faire... S'il a pas répondu ce soir je vous mettrai qd même mon idée et vous me direz si vous pensez que c'est correct.

Ce forum est génial, tout le monde tente !

C'est au programme (et merci pour ce joli exercice, je vais le soumettre à mes étudiants :) ).
Sans vous donner directement la solution, un indice : on peut représenter le calcul demandé grâce à un arbre dans lequel on fait apparaître plusieurs branches. Après avoir tiré la première chaussure, qui peut être n'importe laquelle, on tire la deuxième. A-t-on fait une paire ? Séparer les deux cas possibles. S'il n'y a pas de paire, on tire une troisième chaussure. A-t-on fait une paire ? etc.

Tu es professeur ?!

C'est hyper long avec un arbre alors, un trèèès grand arbre, un séquoia ?

Non, ce n'est pas aussi long. En fait, lorsque l'on construit un arbre, toutes les branches n'ont pas forcément la même longueur.
Voici le début de la construction de l'arbre. Pour le tirage de la deuxième chaussure, je crée deux branches. La première branche sera "j'ai créé une paire", la deuxième branche est "je n'ai pas de paire". La probabilité de la première branche est 1/19 puisque pour faire une paire, une seule chaussure convient parmi 19, ainsi la probabilité de la deuxième branche est 18/19.
Le traitement de la première branche est fini, puisqu'au final on aura bien au moins une paire, c'est ce que l'énoncé réclame. Il faut donc s'attaquer maintenant à la deuxième branche, que l'on sépare en deux selon le tirage de la troisième chaussure. Puis, pour finir, parmi les deux branches nouvellement créées, il faudra encore séparer l'une des deux en deux possibilités selon le tirage de la quatrième chaussure.

Bon alors je tente mais je suis pas sûr et je n'arrive pas jusqu'à la fin (mais il m'énerve et je veux le vaincre) :

je tire une 2e chaussure 3e chaussure 4e chaussure
Chaussure 1 ---- forme une paire--------------------------------------------------------------------- 1/19
---- ne forme pas une paire --- forme une paire------------------------------------------ 18/19 x 1/19 = 1/361
---- ne forme pas une paire ---- forme une paire ------------- 18/19 x 18/19 x 1/19 = 324/6859
---- ne forme pas une paire ------ 18/19 x 18/19 x 18/19 = 5832/6859

et on recommence avec toutes les chaussures (mais il va y avoir des doublons et je ne sais pas comment ne pas les compter 2 fois)

donc il y a 20 (nombres de chaussures) x (1/19 + 1/361 + 324/6859) (chance qu'on ait une paire)
20 x 19 x 18 x 17 (nombre de possibilités totale)

Aie ! Malheureusement ce n'est pas correct. L'erreur principale commise dans ce raisonnement est de ne pas tenir compte des chaussures que l'on enlève au fur et à mesure.
La solution en blanc, pour laisser les autres chercher . J'espère que tout ce qui suit est suffisamment clair, sinon je rajouterai des explications.

J'ai déjà tiré une première chaussure.
J'en tire une deuxième. Deux cas sont possibles : 1) j'ai créé une paire, ou 2) je n'ai pas de paire.

Le cas 1) se produit avec une probabilité de 1/19 car il y a une chaussure parmi 19 qui permet de faire une paire avec la première tirée ; le cas 2) se produit avec une probabilité de 18/19.

Si j'ai une paire, j'ai fini : au final, en continuant de tirer des chaussures, j'aurais bien au moins une paire. Donc maintenant, on s'intéresse uniquement au cas 2), je n'ai pas encore de paire.

Je tire une troisième chaussure. Deux cas sont possibles : 2.1) cette troisième fait une paire, et 2.2) je n'ai toujours pas de paire.

Le cas 2.1) se produit avec une probabilité de 2/18, car parmi les 18 chaussures à ma disposition au moment de choisir la troisième, il y en a 2 qui me permettront de constituer une paire. On en déduit que la probabilité de 2.2), sachant que l'on est dans le cas 2) (c'est une probabilité conditionnelle - désolé pour cette grossièreté) est le complément à 1 de 2/18, soit 16/18.

Si j'ai une paire, j'ai fini, cf remarque précédente. Donc maintenant, on s'intéresse uniquement au cas 2.2), je n'ai pas encore de paire.

Je tire une quatrième chaussure. Deux cas sont possibles : 2.2.1) j'ai enfin une paire, et 2.2.2) je n'aurai finalement pas de paire.

Le cas 2.2.1) se produit avec une probabilité de 3/17, car il me reste dans le tas 17 chaussures, et avec les 3 issues de paires différentes déjà tirées, cela fait bien 3 possibilités pour obtenir une paire. On en déduit la probabilité de 2.2.2) sous la condition 2.2) qui est 14/17.

Au final, il reste maintenant à extraire toutes les probabilités menant à (au moins) une paire et les ajouter.

Cas 1 : 1/19

Cas 2.1 : 18/19 * 2/18 (on multiplie car il y a une grosse branche constituée de deux parties, c'est le coup de la probabilité conditionnelle : il faut d'une part se trouver dans le cas 2, puis une fois dans ce cas se trouver dans le cas 2.1)

Cas 2.2.1 : 18/19 * 16/18 * 3/17 (même chose que précédemment, avec trois parties cette fois)

Au final, la probabilité cherchée est donc (après simplification et mise sous dénominateur commun) : 99/323.

[quote="jaybe"]Aie ! Malheureusement ce n'est pas correct. L'erreur principale commise dans ce raisonnement est de ne pas tenir compte des chaussures que l'on enlève au fur et à mesure.
La solution en blanc, pour laisser les autres chercher . J'espère que tout ce qui suit est suffisamment clair, sinon je rajouterai des explications.


Merci j'ai compris, mais franchement j'aurais été incapable de le faire

Je vais regarder ca tranquillement ce soir... ! MErci en tout cas !

Merci beaucoup.
C'est bon, je l'ai refait et j'ai tout compris. Effectivement je n'avais tenu compte, qu'en partie, des chaussures qu'on tirait au fur et à mesure. Mais comme Lys, j'aurai jamais su le faire toute seule.

Merci Pamotte de nous avoir fait découvrir cet exo !!!

C'est un exercice d'un niveau assez élevé. Je pense que ce genre de choses ne tomberait pas tel quel au concours. Par contre, décortiqué, ça ferait un bon problème en rajoutant des questions intermédiaires du genre : a) après avoir tiré la deuxième chaussure, quelle est la probabilité ... b) on suppose qu'après avoir tiré la deuxième chaussure on n'a pas de paire ; on en tire une troisième, quelle est la probabilité ... etc.

Une remarque pour celles et ceux qui se demanderaient pourquoi le résultat n'est pas celui proposé par RoBeRTo-BeNDeR sur un autre forum. Il a commis une erreur de raisonnement dans la partie "On peut obtenir 10 paires différentes et il reste à prendre 2 chaussures parmi 18" car ici il compte plusieurs fois le même cas qui correspond à l'existence de deux paires (ce qui est toutefois rare, et cela explique que le résultat est "assez proche" de sa réponse 6/19).