Division et reste

Soit r1 et r2 mes restes respectifs des divisions par 13 de deux
nombres quelconques a et b. Montrer que les nombres ab et r1r2 ont le
même reste dans la division euclidienne par 13.


Je bloque à un moment Si quelqu'un y arrive et peut m'expliquer

Tu l'as pris où ce sujet Nainess, il me dit quelque chose ...

Pour l'instant, je bloque aussi mais je n'ai pas les idées très claires aujourd'hui

Je l'ai trouvé sur le net

C'est un exo sorti d'annales ou pas ?

Aucune idée, ce n'était pas indiqué en tout cas!

Je viens de regarder la correction sur EDP et je pense avoir une réponse, vous dites ce que vous en pensez après ...

On a :
a = 13q₁+ r₁
b = 13q₂+ r₂

r₁r₂ = 13q + r

avec a,b, q1, q2, r1, r2, q et r des nombres entiers !

ab = (13q₁+ r₁)(13q₂+ r₂)
ab = 13² q₁q₂ + 13q₁r₂ + 13q₂r₁ + r₁r₂
ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂

donc on a bien une équation euclidienne du type ab = 13 * un nombre entier + r₁r₂
où r₁r₂ est le reste à condition que l'on est bien r₁r₂ <13

On a d'après l'énoncé : r₁r₂ = 13q + r

donc si je remplace r₁r₂ par cette écriture dans l'équation ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂
j'obtiens :
ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + 13q + r
<=> ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁ + q) + r

Donc dans cette nouvelle équation euclidienne, on a r comme reste de la division euclidienne de ab par 13

On a donc bien r qui est le reste de la division euclidienne de ab par 13 et de r₁r₂ par 13.

Alors je crois avoir compris Faut que je le refasse pour être sûre!

Mais juste, comment tu sais que r₁r₂ = 13q + r

Sinon le reste ok, c'est ce que j'avais (sauf les dernières lignes bien sûr, et ça qui me permettait de les relier)

Nainess a écrit:Alors je crois avoir compris Faut que je le refasse pour être sûre!

Mais juste, comment tu sais que r₁r₂ = 13q + r

Sinon le reste ok, c'est ce que j'avais (sauf les dernières lignes bien sûr, et ça qui me permettait de les relier)

C'est ce qui me chagrine, est ce que j'ai le droit de poser ça d'après l'énoncé
Il me semble que oui car il est sous entendu dans la question que ab et r₁r₂ sont divisibles par 13 mais j'ai un doute, c'est pour cela que je vous demande vos avis

Ah bah c'est pas moi qui va te confirmer c'est sûr

Ohé du bateau, ya quelqu'un pour nous éclairer??

tounga a écrit:Je viens de regarder la correction sur EDP et je pense avoir une réponse, vous dites ce que vous en pensez après ...

On a :
a = 13q₁+ r₁
b = 13q₂+ r₂

r₁r₂ = 13q + r

avec a,b, q1, q2, r1, r2, q et r des nombres entiers !

ab = (13q₁+ r₁)(13q₂+ r₂)
ab = 13² q₁q₂ + 13q₁r₂ + 13q₂r₁ + r₁r₂
ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂

donc on a bien une équation euclidienne du type ab = 13 * un nombre entier + r₁r₂
où r₁r₂ est le reste à condition que l'on est bien r₁r₂ <13

On a d'après l'énoncé : r₁r₂ = 13q + r

donc si je remplace r₁r₂ par cette écriture dans l'équation ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂
j'obtiens :
ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + 13q + r
<=> ab = 13 (13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁ + q) + r

Donc dans cette nouvelle équation euclidienne, on a r comme reste de la division euclidienne de ab par 13

On a donc bien r qui est le reste de la division euclidienne de ab par 13 et de r₁r₂ par 13.

Je suis d'accord avec le fait de poser r₁r₂ = 13q + r d'après l'énoncé.

C'est avec la phrase que j'ai mis en gras que je serais moins d'accord.
r1r2 n'est pas < 13 d'après justement r₁r₂ = 13q + r (en supposant q différent de 0)
Je pense que ton raisonnement est juste sauf que tu n'as pas besoin de dire ça.
Nan ?

Effectivement, d'accord avec Circé, tu ne peux pas mettre cette phrase ni la précédente.

Ne fais pas de conclusion intermédiaire et c'est tou tbon !

Moi, je n'avais pas pensé à revenir à l'equation type pour r1r2 ! Et du coup je me perdais !

Merci tounga pour la correction

Exact, il faut supprimer ces deux phrases !!!

je viens de m'amuser à faire cet exercice de mise en jambe des divisions, c'est une division posée à trou, si ça vous dit de la faire juste pour le plaisir, c'est assez rapide :
exercice division à trou