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    Démonstration nombres décimaux

    Dice59
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    Démonstration nombres décimaux Empty Démonstration nombres décimaux

    Message par Dice59 Ven 29 Juil - 15:00

    Bonjour

    Je suis en train de travailler sur les nombres rationnels et décimaux et je suis tombée sur cette démonstration :

    Si un nombre rationnel exprimé sous forme de fraction irréductible a/b est un nombre décimal, il existe n tel que a/b × 10n soit un nombre entier.

    Or 10n = 2n×5n donc a/b × 2n×5n est un nombre entier donc (ax2n×5n)/b est un nombre entier. Comme a et b n’ont pas de diviseur commun (car a/b est irréductible), il faut que b divise 2n×5n, b est donc de la forme 2p×5q avec 0 ≤ p ≤ n et 0 ≤  q ≤  n.

    Je pense que c'est pour démontrer qu'un nombre est décimal mais j'ai un peu de mal à comprendre le cheminement. Quelqu'un saurait-il m'expliquer ?

    Merci !
    Mim
    Mim
    Petit blablateur
    Petit blablateur


    Démonstration nombres décimaux Empty Re: Démonstration nombres décimaux

    Message par Mim Sam 30 Juil - 0:25

    Hello Dice,

    J'ai cherché un moment à comprendre cette démo aussi.
    SI j'arrive à te l'expliquer, c'est que j'ai bien compris  Very Happy

    Disons que tu as un nombre rationnel décimal (prenons par exemple 0,25) que tu peux écrire sous la forme d'une fraction irréductible a/b (1/4).
    Comme il est décimal, il existe un nombre n, tel que a/b* 10n soit un nombre entier. (dans notre cas, n = 2 ).

    Donc a/b * 10n est un nombre entier et comme 10n est égal à 2n×5n
    => a/b * 2n×5n est un entier ou encore (a*2n×5n )/b est un entier.
    dans l'exemple (1*22×52)/4 est un entier

    Si ce nombre est un entier, ça veut dire que ton numérateur doit être divisible par ton dénominateur.
    Donc b doit diviser a*2n×5n
    (4 doit diviser 1*22×52)

    Mais comme dans nos hypothèses de départ, a/b est irréductible, il n'est pas possible de simplifier la fraction a/b donc b doit diviser 2n×5n
    (4 divise 22×52)

    Et pour que b divise 2n×5n , il faut que b soit un multiple de 2 avec une puissance inférieure à n et/ou un multiple de 5 avec une puissance inférieure à n.
    donc b est égal à  2n×5n avec  0 ≤ p ≤ n et 0 ≤  q ≤  n
    (4 = 22×50)

    En conclusion, si un nombre rationnel exprimé sous forme de fraction irréductible est un nombre décimal alors b est de la forme 2n×5n avec  0 ≤ p ≤ n et 0 ≤  q ≤  n

    Après relecture, je ne sais pas si c'est très clair scratch
    Dice59
    Dice59
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    Démonstration nombres décimaux Empty Re: Démonstration nombres décimaux

    Message par Dice59 Dim 31 Juil - 21:37

    Merci beaucoup, ça me paraît plus clair ! Mais faut-il connaitre ce type de démonstrations pour le concours ?
    Mim
    Mim
    Petit blablateur
    Petit blablateur


    Démonstration nombres décimaux Empty Re: Démonstration nombres décimaux

    Message par Mim Ven 5 Aoû - 16:32

    Honnêtement: je n'espère pas! Mais je ne sais pas du tout...

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    Démonstration nombres décimaux Empty Re: Démonstration nombres décimaux

    Message par Contenu sponsorisé


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