Exercices

Trouver tous les nombres entiers compris entre 100 et 500 qui sont divisibles à la fois par 8,15 et 20.

La méthode c'est de commencer par décomposer les nombres donnés en facteurs premiers :
8 = 2^3
15 = 3 * 5
20 = 2^2 * 5

Ensuite, il faut prendre les facteurs premiers communs pour calculer le PPCM car on cherche tous les nombres entiers divisibles par 8, 15 et 20 à la fois :
PPCM (8, 15, 20) = 2^3 * 3 * 5 = 120


On appelle n tous les multiples commun de 8, 15 et 20 compris entre 100 et 500. Donc on a : n = x * 120 avec x un nombre entier
On sait : 100 <= n <= 500 [<= ce signe signifie inférieur ou égale ] et n = x* 120 donc on a :
100 <= x * 120 <= 500
100/120 <= x <= 500/120
0,8333 <= x <= 4,1666
x étant un entier, on a x=1 ou x=2 ou x=3 ou x=4
donc pour n : n = 1*120 = 120,
n = 2*120 = 240,
n = 3*120 = 360
et n = 4*120 = 480

youpiiiiiiiiii

la réponse est pas aussi jolie mais j'ai juste!

je crois que pour la seconde question, sur le même principe on a : 420, 630 , 840!
Mais je laisse les autres expliquer je me suis peut être trompée suis pas encore experte loin de là!
Et pour le dernier EXO..... :
1263, en passant par une division euclidienne!

Bon je vais manger avant de me faire taper sur les doigts!!!

(P.S. : j'ai eu 7 en maths l'année dernière...!)

Je ne mets pas tout de suite la correction de l'exercice 2 pour que celles qui ont des problèmes avec le 1 puissent étudier la correction et appliquer la méthode au numéro 2 et si vous n'y arrivez pas, venez poser vos questions !

Trouver le plus petit entier supérieur à 10 000 qui divisé par 5, 12 et 14 ait pour reste 3
Soit x le nombre entier recherché.
On sait : x > 10000 et x = ay+b avec b = 3, a multiple de 5, 12 et 14 et y un nombre entier. Et x le plus petit possible !
Donc on peut déjà écrire l'inégalité suivante : ay + 3 > 10000 [1]

Cherchons a pour qu'il ne reste plus qu'une seule inconnue dans [1]
12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 2² * 3
14 = 2 * 7
PPCM (5, 12, 14) = 5 * 2² * 3 * 7 = 420
donc [1] 420 * y + 3 > 10000 [2]

nous avons désormais une inéquation à une inconnue que nous pouvons résoudre :
420 * y + 3 > 10000
420 * y > 9997
y > 9997 / 420
y > 23,8
y étant un nombre entier, on a donc y = 24.

en remplaçant y par sa valeur dans [2] on trouve :
x = 420 * 24 + 3 = 10083

Sandra a écrit:je crois que pour la seconde question, sur le même principe on a : 420, 630 , 840!
Mais je laisse les autres expliquer je me suis peut être trompée suis pas encore experte loin de là!
Et pour le dernier EXO..... :
1263, en passant par une division euclidienne!

Bon je vais manger avant de me faire taper sur les doigts!!!

(P.S. : j'ai eu 7 en maths l'année dernière...!)

Sandra, premier conseil, lis et relis un sujet avant de commencer à répondre
deuxième conseil : une fois que tu as trouvé une solution, vérifies bien qu'elle tient compte des particularités de l'énoncé : ici, nous cherchons un nombre supérieur à 10000 !

Pour les réponses de l'exercice 2, celles de sandra sont justes !

bah voilà! je savais que j'allais faire une connerie!

Merci pour tes conseils Tounga!

Voilà, ça c'est tout moi, ayant trouvé la méthode, je suis tellement contente que je fais plus gaffe aux chiffres! effectivement, je suis partie de 1000 et non de 10 000!

Merci encore!
Je ferai plus attention la prochaine fois!

La seule chose positive (y'en a toujours une!! ) c'est que j'ai compris le système du PPCM !!!!

Tounga a écrit:Je ne mets pas tout de suite la correction de l'exercice 2 pour que celles qui ont des problèmes avec le 1 puissent étudier la correction et appliquer la méthode au numéro 2 et si vous n'y arrivez pas, venez poser vos questions !

Trouver le plus petit entier supérieur à 10 000 qui divisé par 5, 12 et 14 ait pour reste 3
Soit x le nombre entier recherché.
On sait : x > 10000 et x = ay+b avec b = 3, a multiple de 5, 12 et 14 et y un nombre entier. Et x le plus petit possible !
Donc on peut déjà écrire l'inégalité suivante : ay + 3 > 10000 [1]

Cherchons a pour qu'il ne reste plus qu'une seule inconnue dans [1]
12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 2² * 3
14 = 2 * 7
PPCM (5, 12, 14) = 5 * 2² * 3 * 7 = 420
donc [1] 420 * y + 3 > 10000 [2]

nous avons désormais une inéquation à une inconnue que nous pouvons résoudre :
420 * y + 3 > 10000
420 * y > 9997
y > 9997 / 420
y > 23,8
y étant un nombre entier, on a donc y = 24.

en remplaçant y par sa valeur dans [2] on trouve :
x = 420 * 24 + 3 = 10083

Tounga, dis moi, tu sais, je comprends très bien les méthodes comme tu as détaillé pour l'exo 3, mais moi je trouve toujours le résultat autrement, en tatonnant en fait. Plus arithmétique qu'algébrique.
Comment faire pour parvenir à ta méthode?

Je veux dire, toi, tu vois tout de suite ce que "x" va représenter, tu perçois direct ton équation ton inéquation etc...moi, j'ai du mal à mettre des problèmes en équations et par contre à tatons j'y arrive.

Quel autre conseil aurais tu?
Est ce que quand tu rédiges ton équation, d'abord tu as cherché sans algèbre à tatons, comme moi?

Est ce que l'équation te vient directement?

Merci de m'aider, j'ai fais des progrès en logique mais y'a encore du boulot!

Je suis pas Tounga mais je pense qu'elle te dire la même chose: en maths y a qu'une seule solution: entraînement encore et encore et encore

nanou a écrit:Je suis pas Tounga mais je pense qu'elle te dire la même chose: en maths y a qu'une seule solution: entraînement encore et encore et encore

Excellente réponse !

Face à un énoncé, il faut que tu donnes un nom aux inconnues (Soit X, ...) pour pouvoir mettre le problème en équation c'est le seul moyen.
Donc même tarif que Julie : 2 exos de maths par jour pour commencer, ça va te prendre bcp de temps au début mais finalement de moins en moins et surtout, ne pas se décourager ! Quand tu bloques, tu postes sur le forum et on résoud les exos ensemble, on t'explique ...
Au fil du temps, tu vas mettre de moins en moins de temps, dans ce cas, tu fais plus d'exos !

merci, je m'y mets dès demain!!!
merci beaucoup!

Donnez le reste de la division par 6 de la somme de 3 nombres impairs consécutifs

On commence par revoir les bases ! J'ai essayé de tenir compte de vos remarques... dites moi si ce type d'exo vous va pour reprendre en douceur !

A première vue c'est PARFAIT , pour moi en tous cas!

Je comprends rien mais je sens que c'est tard et que mon cerveau va me faire plaisir demain bref, merci! Ne change rien!

A demain!

Enfin si juste un truc comme ça demain je saurai : on choisi les nombres qu'on veut????? Je veux dire, à deux, trois, quatre chiffres, peu importe du moment qu'ils sont impairs et consécutifs?

Tounga a écrit:

nanou a écrit:Je suis pas Tounga mais je pense qu'elle te dire la même chose: en maths y a qu'une seule solution: entraînement encore et encore et encore

Excellente réponse !

Face à un énoncé, il faut que tu donnes un nom aux inconnues (Soit X, ...) pour pouvoir mettre le problème en équation c'est le seul moyen.
Donc même tarif que Julie : 2 exos de maths par jour pour commencer, ça va te prendre bcp de temps au début mais finalement de moins en moins et surtout, ne pas se décourager ! Quand tu bloques, tu postes sur le forum et on résoud les exos ensemble, on t'explique ...
Au fil du temps, tu vas mettre de moins en moins de temps, dans ce cas, tu fais plus d'exos !

Alors je rajouterai un petit conseil. Pour le concours les exos sont relativement toujours les mêmes donc effectivement répétition, répétition mais l'important c'est qd même de comprendre le pourquoi tu utilises telle méthode.
Pour les exos de Tounga, c'est des histoires de reste, de divisions, etc... donc "forcément" tu auras qq part une équation du type y = ax + b, ce qu'il faut c'est bien mettre en face de chaque inconnu le bon nombre de l'énoncé. Pour ça répétition, répétition... Mais attention à force de répétition, on peut vouloir aller trop vite et en math la plupart des erreurs viennent d'une lecture trop rapide de l'énoncé ! Donc vigilence à la lecture ! Je sais pas si c'est bien clair ce que je viens d'écrire .

Si si j'ai tout compris merci beaucoup!

Sandra a écrit:A première vue c'est PARFAIT , pour moi en tous cas!

Je comprends rien mais je sens que c'est tard et que mon cerveau va me faire plaisir demain bref, merci! Ne change rien!

A demain!

Enfin si juste un truc comme ça demain je saurai : on choisi les nombres qu'on veut????? Je veux dire, à deux, trois, quatre chiffres, peu importe du moment qu'ils sont impairs et consécutifs?

Sandra, en maths un million d'exemples ne permettront jamais de dire qu'une propriété est vraie ou fausse !
Donc, pour répondre à un exercice de ce type, il faut que tu généralises c'est à dire que tu dois donner le reste de la division par 6 ... pour TOUS les nombres impaires.

Aide de cours :
Pour résoudre cet exercice, vous devez connaitre la définition mathématique d'un nombre impaire (et du coup aussi celle d'un nombre pair)

Merci Tounga! Très pédagogue, vraiment!

Trouvé! Et cette fois, j'ai fait ça avec attention, concentration et tout et tout!

Je suis quasi sure d'avoir juste!

Tu me diras quand je pourrais tenter de répondre, suis impatiente!Même si je doute que tout soit parfait!

Réponds Sandra si tu veux!
On n'est pas obligés de regarder les réponses!!!

ok je revois mon brouillon et je note tout! merci!

Alors, je me lance :
Donnez le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs :
On sait qu'un nombre impair N s'écrit sous la forme : N = 2K+1, où K est un entier.
Puisque l'énoncé nous indique que les trois nombres impairs sont consécutifs, on peut en déduire l'écriture suivante :
Soit N1, N2, et N3 trois nombres impairs consécutifs :

N1 + N2 + N 3 = (2K + 1) + (2K + 3 ) + (2K + 5)
N1 + N2 + N3 = 6 (K + 1 ) + 3
Par cette factorisation, nous pouvons remarquer que si nous divisons la somme de trois entiers consécutifs par 6, le reste est toujours 3.

J'ai vraiment fais de mon mieux, attention pour les autres, c'est une proposition ça se trouve c'est tout faux!

Si ton premier chiffre impair est 2K+1,alors le suivant c'est 2K+3...tu vas de deux en deux ....

nanou a écrit:Si ton premier chiffre impair est 2K+1,alors le suivant c'est 2K+3...tu vas de deux en deux ....

J'ai corrigé ma Nanou, j'espère que ce coup-ci c'est juste!

Eh oui parce que il y a +1 entre chaque nombre impair donc pour aller de nombres impairs en nombres impairs (consécutifs), on va de deux en deux, effectivement! MERCI

du coup 1+3+5=3?

nanou a écrit:du coup 1+3+5=3?

nan pas encore!!!!
Mais 1+3+5 = 9
Et 9 = 6+3!
Et comme on a 3*2K ( = 6K), eh bien heu....oui! Voilà! (6K+9) divisé par 6
ça donne : K + 1, reste 3 !

j'espère qu'en avril ça sera mieux ! y'a encore du boulot!!!!
Patience et longueur de temps font pus que force ni que rage!