par Tounga Jeu 10 Sep - 15:20
Exercice 2 (4 points)
Deux joueurs font la "course à 10 par pas de 2" : le joueur qui commence dit soit « 1 » soit « 2 »
puis chacun des joueurs, à tour de rôle, ajoute soit 1 soit 2 au résultat de son adversaire. Le
gagnant est celui qui annonce 10 le premier.
Par exemple, dans la première partie, le joueur A commence et dit : « 1 » ; le joueur B dit :
« 1 + 2 = 3 » ; A dit : « 3 + 2 = 5 » ; B dit : « 5 + 1 = 6 » ; A dit : « 6 + 2 = 8 » ; B dit : « 8 + 2 =
10 » et gagne.
1°) Dans la deuxième partie, le joueur A arrive à 7 et dit à B : « J'ai gagné ! ». Est-ce vrai ?
Pourquoi ?
2°) Dans la troisième partie, le joueur B commence, dit un nombre puis annonce :
« J'ai gagné ! ». Existe-t-il un nombre qui permet d'être aussi affirmatif ? Lequel et pourquoi ?
3°) Le pas devient 3 : le joueur qui commence dit soit « 1 » soit « 2 » soit « 3 » puis chacun des
joueurs, à tour de rôle, ajoute soit 1 soit 2 soit 3 au résultat de son adversaire. On suppose que
le joueur qui commence connaît la stratégie gagnante. Quel nombre doit-il annoncer pour être
sûr de gagner ?
4°) Dans la quatrième partie, le joueur A dit : « Faisons maintenant la course à 12, toujours par
pas de 3, et c'est toi qui commences ». Expliquer pourquoi A met toutes les chances de son
côté pour gagner.
5°) Dans la "course à n par pas de 3", quelle(s) conditions) doivent respecter les nombres n
(n > 3) pour que le joueur qui commence ait la certitude de gagner s'il joue bien ?
Attention correction plus bas !
Correction :
Exercice 2
1°) Si, le coup suivant, B dit : « 7 + 1 = 8 », A pourra dire ensuite : « 8 + 2 = 10 » et gagner la
partie.
Si, le coup suivant, B dit : « 7 + 2 = 9 », A pourra dire ensuite : « 9 + 1 = 10 » et gagner la
partie.
A a donc raison de dire : « J’ai gagné ! ».
2°) On a vu a la question précédente qu’un joueur qui arrive à un total de 7 est assuré de
pouvoir gagner (il lui suffit de choisir ensuite le complément à 3 du nombre choisi par son
adversaire).
De la même manière on peut expliquer qu’un joueur qui arrive à un total de 4 est assuré de
pouvoir gagner puisqu’il pourra ensuite arriver à 7 en employant toujours la même tactique
(choisir le complément à 3 du nombre choisi par son adversaire).
Si le joueur B commence en disant : « 1 », il est assuré de pouvoir gagner puisqu’il pourra
ensuite arriver à 4 puis à 7 puis à 10 en choisissant à chaque fois le complément à 3 du nombre
choisi par son adversaire.
Il existe donc bien un nombre permettant au joueur B d’être aussi affirmatif. C’est le nombre 1.
3°) Pour pouvoir être assuré de gagner il faut, dans « la course à 10 par pas de 3 », pouvoir
arriver à un total de 6 (ensuite on choisit le complément à 4 du nombre choisi par l’adversaire).
Or, pour être sûr de pouvoir arriver à 6, il suffit, si on est le joueur qui commence la partie
d’annoncer : « 2 » (on emploie ensuite la même tactique : choisir le complément à 4 du nombre
choisi par l’adversaire).
Donc, si le joueur qui commence annonce : « 2 », il est sûr de pouvoir gagner (il suffit de choisir
ensuite à chaque fois le complément à 4 du nombre choisi par son adversaire).
4°) Dans « la course à 12 par pas de 3 », des raisonnements analogues à ceux-ci-dessus
permettent d’affirmer que, si on arrive à un total de 4, on est sûr de pouvoir gagner (en effet, en
choisissant ensuite à chaque fois le complément à 4 du nombre choisi par son adversaire on
arrive à 8 puis à 12).
Si B commence en disant « 1 », A pourra dire « 1 + 3 = 4 ».
Si B commence en disant « 2 », A pourra dire « 2 + 2 = 4 ».
Si B commence en disant « 3 », A pourra dire « 3 + 1 = 4 »
Quel que soit le nombre annoncé par B au départ, A pourra donc arriver à un total de 4, puis un
total de 8 puis un total de 12 (en choisissant à chaque fois le complément à 4 du nombre choisi
par son adversaire).
A met donc toutes les chances de son côté pour gagner.
5°)
Dans la «course à n par pas de 3 », on est sûr de pouvoir gagner si on peut commencer en
annonçant un nombre qui soit de la forme n - 4k (avec k entier) (ensuite, on choisit à chaque
fois le complément à 4 du nombre choisi par l’adversaire).
Il faut donc que l’un des nombres 1, 2 et 3 figure parmi les nombres de la forme n - 4k.
C’est le cas lorsque n peut être écrit 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3 (avec k entier) ce qui revient à
dire que n n’est pas un multiple de 4.
Si le nombre n n’est pas un multiple de 4, le joueur qui commence a la certitude de gagner s’il
joue bien.
le site sur lequel je prends les exos et les corrections ne marche plus